[스크랩] 대수 언어 익히기4. 역원

* 다음 자료를 저자 이상하의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금합니다. (추학: 031-422-1977)

 

대수 언어 익히기 4

 

 

4. 역원

 

임의의 자연수 a 에 대해 다음과 같은 항등원의 법칙이 성립함을 살펴보았습니다.

 

• 임의의 자연수 a에 대해 ‘a+0=a’가 성립한다.

• 임의의 자연수 a에 대해 ‘a×1=a’가 성립한다.

 

그런데 더하기 연산의 경우, 임의의 자연수 a에 대한 더하기의 항등원 0은 자연수들의 모임에 속하지 않습니다. 따라서 임의의 자연수에 대해 ‘항등원의 법칙’이 성립한다고 하여, 항등원 자체가 항상 자연수가 되는 것은 아닙니다.

 

[물음 1] <보기>에서 0을 포함하지 않은 수들의 모임을 고른다면?

 

<보기> 

(가) 자연수들의 모임 (나) 전체수들의 모임 (다) 정수들의 모임 (라) 양의 정수들의 모임

 

① (가), (나)   ② (가), (다)   ③ (가), (라)   ④ (나), (다)   ⑤ (나), (라)

 

[물음 2] <보기> 중 잘못된 주장만을 고른 것은?

 

<보기> 

(가) 셈을 할 때 자연수를 사용할 수 있군. (나) 교실에 얼마나 많은 학생이 있는지를 나타낼 때 전체수가 필요하겠군. (다) 교실에 학생이 없는 경우는 0으로 나타낼 수 있겠군. (라) 자연수의 더하기에 대한 항등원은 자연수이군. (마) 자연수 곱하기에 대한 항등원은 자연수이군. (바) 정수의 더하기와 곱하기에 대한 두 항등원은 정수들이 아니군.

 

① (가), (다), (라)   ② (나), (라), (마)   ③ (다), (바)   ④ (라), (바)   ⑤ (마), (바)

 

[물음 3~7] 유리수에 관한 <보기>의 설명을 읽고 물음에 답해 봅시다.

 

<보기> 

임의의 작대기 A가 있습니다. 그 작대기의 길이를 1로 잡읍시다. 또 다른 작대기 B가 있습니다. B의 길이는 A의 세 배입니다. 이때 B의 길이는 (가)으로 나타낼 수 있습니다. 그런데 B를 기준으로 하는 경우, A의 길이는 B의 길이보다 짧아요. 그 짧은 정도는 (나)라는 양의 분수로 나타낼 수 있습니다.   (나)에 -1을 곱하면 (다)라는 음의 분수를 얻을 수 있습니다. 분수에는 이렇듯 양의 분수와 음의 분수가 있습니다. 분수는 다음과 같은 형태를 갖고 있습니다.   • 분자/분모   분자 부분에는 임의의 정수들이 들어갈 수 있습니다. 분모의 부분에는 0이 아닌 임의의 정수들이 들어갈 수 있습니다. 분수 (나)를 그림으로 나타내 보면 다음과 같습니다.     (나)라는 분수는 전체 원에서 검은색 부분이 차지하는 정도를 뜻합니다. 전체 원은 (라)에, 그리고 검은색 부분은 (마)에 해당합니다. 분수를 ‘전체 크기 대 특정 부분의 크기’로 해석하는 경우, 0은 무엇을 뜻할까요?   • 0은 ‘전체 크기에서 특정 부분이 차지하는 부분은 없음’을 뜻한다.   전체 크기가 없다면, 전체에서 차지하는 부분의 크기라는 것도 없습니다. 따라서 분수에서 분모는 0이 될 수 없습니다.   • 유리수들의 모임은 양의 분수들, 음의 분수들, 그리고 0으로 구성된 모임을 뜻합니다.

 

[물음 3] (가)~(마)에 들어갈 것으로 적절한 것은?

 

   (가)   (나)     (다)     (라)   (마)

①  3      1/3      -1        3        1

②  3      1/3    -1/3       3        1

③  3       3      -1/3       3        1

④  1       3      -1/3       1        3

⑤  1      1/3    -1/3       3        1

 

[물음 4] 자연수들을 분수로 나타내는 경우, 분모는 어떤 수가 되어야 할까요? 아래 <보기> 중 이에 대한 답을 모두 고른다면?

 

<보기> 

(가) 임의의 정수 a에 대해 ‘a+x=a’를 만족하는 수 x (나) 임의의 정수 a에 대해 ‘ax=a’를 만족하는 수 x (다) 임의의 정수 a에 대해 ‘[(a+0)1/x]x=a’를 만족하는 수

 

① (가)   ② (나)   ③ (다)   ④ (가), (나)   ⑤ (나), (다)

 

[물음 5] 다음 중 올바른 주장은?

 

① 0은 유리수가 아니다.

② 음의 분수라는 것은 없다.

③ 분수의 분모는 1이 될 수 없다.

④ 정수 중에는 유리수들의 모임에 속하지 않는 것도 있다.

⑤ 분수의 분모는 0이 될 수 없다.

 

[물음 6] 양의 유리수들을 가지고 음의 유리수들을 얻는 가장 쉬운 방법은 무엇인가요?

 

 

 

[물음 7] 음의 유리수들을 가지고 양의 유리수들을 얻는 가장 쉬운 방법은 무엇인가요?

 

 

 

   

지금까지 배운 것을 바탕으로 역원에 대해 알아봅시다.

 

임의의 자연수 a에 대해 다음과 같은 역원의 법칙이 성립합니다.

 

• 임의의 자연수 a에 대해 ‘a+(-a)=0’이 성립한다.

• 임의의 자연수 a에 대해 ‘a×(1/a)=1’이 성립한다.

 

[물음 8] 임의의 자연수 에 대해 역원의 법칙이 성립하는 보기 세 개를 들어 본다면?

 

 

   

[물음 9~10] <보기>를 읽고 물음에 답하시오.

 

<보기> 

임의의 정수 a에 대해 다음과 같은 역원의 법칙이 성립합니다.   • 임의의 정수 a에 대해 ‘a+(-a)=0’이 성립한다. • 0이 아닌 임의의 정수 a에 대해 ‘a×(1/a)=1’이 성립한다.

 

[물음 9] <보기>에 근거한 판단으로 잘못된 것은?

 

① a에 -1이 들어갈 수 있겠군.

② a에 -3이 들어가면 a의 더하기에 대한 역원, 즉 a에 더했을 때 그 합을 0으로 만들어 주는 수는 3이 되는군.

③ a에 5가 들어가면 a의 곱하기에 대한 역원, 즉 a에 곱했을 때 그 곱을 1로 만들어 주는 수는 1/3이 되는군.

④ <보기> 법칙은 a가 임의의 전체수인 경우에도 해당하는군.

⑤ a의 곱하기에 대한 역원은 항상 정수들의 모임에 속하는군.

 

[물음 10] 임의의 전체수 a에 대해 성립하는 역원의 법칙을 써본다면?

 

 

 

 

[물음 11] <보기>를 바탕으로 임의의 정수 1/a의 곱하기에 대한 역원은 임을 보인다면?

 

<보기>

• 임의의 정수 a에 대해 ‘a+(-a)=0’이 성립하며, 이때 -a를 a의 역원이라 한다. • a+(-a)=(-a)+a=0 - 교환 법칙 • 따라서 a는 -a의 역원이라 할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

[물음 12] a, b, c, d, e는 임의의 정수들이다. <보기>의 방식에 따라 (1)~(6)를 증명해 봅시다.

 

<보기> 

(0) ‘a=3’인 경우, ‘a-3=0’이 성립한다.   1. a+(-3)=3+(-3) 2. 3+(-3)=0 - 역원의 법칙 3. a+(-3)=0 - 1과 3 4. a-3=0 - 단순화

 

(1) 생략

(2) 생략

(3) 생략

(4) 생략

(5) 생략

 

 

[물음 13~16] 다음 이야기를 읽고 물음에 답하시오.

 

명진, 민상, 민종, 일한, 현창이 모두는 지역 공동체가 운영하는 반과 후 학습 과정에 참가하는 학생들입니다. 이들은 학교에서도 무척이나 떠들기로 유명한 아이들입니다. 이들이 참가하는 반과 후 학습 과정은 ‘자기 주도 학습 능력 강화 과정’입니다.

 

‘자기 주도 학습 능력 강화 과정’을 맡은 선생님이 들어왔습니다. 선생님은 다음과 같이 말하고 나가버렸습니다.

 

“자기 주도 학습이라는 것은 별다른 것이 아니란다. 그것은 무엇이든 혼자 스스로 하는 것을 뜻하지. 그러므로 이제부터 두 시간 동안 너희들 스스로 책을 읽고 문제를 만들어 보렴.”

 

명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 떠들기 시작했습니다. 현창이가 일어나 탁자에 놓여 있던 작대기를 들자, 명진, 민상, 민종, 일한이도 작대기를 구해 모두 칼싸움을 시작했습니다. 다른 학생들은 이들 때문에 시끄러워 아무것도 할 수 없었습니다. 이때 이상한 일이 발생했습니다.

 

하늘이 갑자기 어두워지면서 초록색 빛이 교실을 밝혔습니다. 그리고 아이들이 소리쳤습니다.

 

“저것 봐. 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이 이마에 검은 점이 생겼어.”

 

갑자기 사이렌 소리가 들렸습니다. ‘사이렌’이라 불리는 요정이 나타났습니다. 아름답게 생긴 요정이 갑자기 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이 앞으로 와 입을 벌렸습니다. 요정의 입속에는 이마에 나타난 검은 점이 있었습니다. 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 그 검은 점으로 빨려들어 갔습니다. 요정은 소리쳤습니다.

 

“이제 너희들은 이 우주에서 평행 우주로 옮겨질 것이다. 그곳에서 또 다른 너희들을 만나게 될 거이다. ( A ). 나는 이렇게 너희들에게 경고했느니라.”

 

한참 후, 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 평행 우주에 나타났습니다. 그들은 각자 집으로 갔습니다. 놀랍게도 각자의 집에는 또 다른 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이가 있습니다. 집에 들어가고 싶었지만, 들어갈 수 없었습니다. 그렇게 하는 경우, 우리 우주와 평행 우주 모두 파괴되기 때문입니다. 요정의 경고를 따르면 그렇습니다.

 

명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 평행 우주의 아파트 단지 으슥한 곳에 모여 앞으로 할 일에 대해 토론했습니다. 일단 모두 학교에 가서 학생들 몰래 수업 시간을 관찰하기로 했습니다.

 

창문 너머로 평행 우주의 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이가 보였습니다. 산수 수업 중이었습니다. 그런데 평행 우주의 연산 방법은 우리 우주와 달랐습니다. 평행 우주의 더하기는 우리의 곱하기에, 그리고 평행 우주의 곱하기는 우리의 더하기에 대응했습니다. 또 평행 우주의 빼기는 우리의 나누기에, 그리고 평행 우주의 나누기는 우리의 빼기에 대응했습니다.

 

산수 시간이 끝나자 아이들이 교실 밖으로 나오기 시작했습니다. 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 또 다른 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이의 눈에 띄어서는 안 되고, 또한 그들을 만져서도 안 됩니다. 그렇게 하는 경우, 우리 우주와 평행 우주 모두 파괴되기 때문입니다.

 

명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 어젯밤 가게에서 훔친 전기총을 가지고 또 다른 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이 뒤로 다가갔습니다. 전기총에 일격을 당한 평행 우주의 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 기절했습니다.

 

여기서 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이가 어젯밤 토론한 내용을 잠깐 살펴봅시다.

 

• 인간은 마음대로 우리 우주와 평행 우주를 왔다 갔다 할 수 없다. 하지만 ( B ). 그렇다면 요정이 다시 우리 앞에 나타날 수도 있다. 요정이 우리 앞에 다시 나타나게 하려면, 어떻게 해야 할까? 바로 ( C ).

 

다시 수업이 시작되었습니다. 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 교실에 들어가 목청을 높여 떠들었습니다. 교실은 난장판이 되었습니다. 담임선생님은 당황했습니다. 평행 우주의 또 다른 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 수업 시간에는 집중해 공부하는 아이들이었기 때문입니다.

 

갑자기 평행 우주의 아이들이 소리를 쳤습니다.

 

“저것 봐. 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이 이마에 검은 점이 생겼어.”

 

그리고 사이렌 소리가 들렸습니다. 요정 사이렌이 온 것입니다. 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 다시 고향으로 돌아갈 수 있다는 기대감에 만세를 불렀습니다.

 

요정은 초록색 빛을 더욱 밝게 비추었습니다. 교실에 있던 평행 우주의 담임선생님과 아이들은 곧 잠들었습니다. 이들이 깨어나면, 아무것도 기억하지 못할 것입니다. 평행 우주의 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이가 깨어나 교실로 들어오는 순간, 요정은 입을 크게 벌렸습니다. 입속에 검은 점이 나타났습니다. 하지만 요정은 저번과 달리 이번에는 무서운 모습으로 변했습니다.

 

명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 과연 집으로 돌아왔을까요? 아닙니다. 몹시 화가 난 요정은 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이를 ‘시공간의 틈새’에 가두어 버렸습니다. 그 시공간의 틈새란 우리 우주와 평행 우주 사이의 장벽입니다. 그곳에 빠지면, 다시 빠져 나오기란 거의 불가능합니다.

 

시공간의 틈새에는 우리 우주와 평행 우주에서 사라진 인간들과 온갖 종류의 생명체들이 있습니다. 깜깜한 시공간의 틈새에서 그들은 길을 잃고 평생 헤매야 합니다. 과연 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이는 시공간의 틈새를 빠져 나와 부모님의 품으로 돌아갈 수 있을까요?

 

[물음 13] 위 글의 빈 칸 (A), (B), (C)에 들어가야 할 내용은?

 

(A)                                                                       

 

(B)                                                                       

 

(C)                                                                       

 

[물음 14] 평행 우주의 연산 방식에 따를 때, 다음 연산의 결과는?

 

생략

 

 

[물음 15] 평행 우주의 연산 방식에 따를 때, 다음 중 연산이 불가능한 것은?

 

생략

 

 

[물음 16] 임의의 정수에 대해 성립하는 역원의 법칙을 평행 우주의 연산 방식에 따라 표현해 본다면?

 

 

출처 : 추론학교

글쓴이 : 착한왕 원글보기

메모 :