논리적 연결사

* 다음은 어린이 추론학교 1 기생을 위해 약 5 주로 계획된 형식 논리 개념 익히기 과정의 일부입니다. 이어지는 내용들인 '동어반복과 모순', '모든과 어떤', '논리적 추론과 실제 추론의 차이', '형식 논리의 유용성과 한계'는 생략합니다. 다음 사고훈련을 저자 착한왕(이상하)의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금합니다.

 

 

논리적 연결사 

 

 

비가 오면, ‘비가 온다’는 진술은 참입니다. 비가 오지 않으면, 그 진술은 거짓으로 판단됩니다. ‘비가 온다’는 진술과 같은 것은 어떤 사건의 발생 유무 혹은 사실의 존재 유무에 의해 참 거짓이 결정됩니다. 이러한 진술 하나만 가지고도 무한개의 진술을 만들 수 있습니다. 왜 그럴까요?

 

우리에게는 ‘접속사’라는 강력한 무기가 있습니다. 접속사에는 ‘... 아니다’, ‘..., 그리고 ...’, ‘..., 또는 ...’, ‘... 면, ...이다’가 있습니다. 이들은 각각 ‘부정 접속사’, ‘연접 접속사’, ‘이접 접속사’, ‘함의 접속사’라고 합니다. ‘비가 온다’라는 단 하나의 진술을 가지고 생각해 봅시다. 이 진술의 부정은 ( A )입니다. ‘부정 접속사’, ‘연접 접속사’, ‘이접 접속사’, ‘함의 접속사’를 가지고 ‘비가 온다’와 ( A )를 결합할 수 있습니다. 또 이렇게 해서 얻어진 진술들을 접속사를 이용해 결합하면, 새로운 진술들이 계속 탄생하는 것입니다.

 

 

[물음 1] (A)에 들어가야 하는 것은?

 

(A)                                                                       

 

 

[물음 2] ‘비가 온다’는 진술을 P라고 합시다. 다음 진술은 어떻게 만들어진 것일까요?

 

• 비가 오고 오지 않는 경우는 없다.

 

 

  

어떤 사건의 발생 유무 혹은 사실의 존재 유무에 의해 참 또는 거짓으로 판단되는 진술은 ‘단순 진술’이라고 합니다. 접속사를 이용해 단순 진술들을 결합한 진술들은 ‘복합 진술’이라고 합니다.

 

복합 진술의 참 거짓 판단은 그것을 구성하는 진술들의 내용에 의존적입니다. 즉, 접속사의 기능은 진술들의 내용에 의존적입니다.

 

인간의 판단을 모방할 수 있는 로봇을 만든다고 가정합시다. 우리는 아직 인간이 어떻게 진술의 내용을 파악하는지 알지 못합니다. 따라서 접속사가 진술들의 내용에 의존하는 방식에 대한 구체적인 지식을 갖고 있지 않습니다. 이러한 상황에서 어떻게 인간의 참 거짓 판단을 모방할 수 있는 로봇을 만들 수 있을까요?

 

가장 쉬운 방법은 진술들의 내용을 무시하고 그것들의 진리치, 곧 참 또는 거짓만 고려하는 것입니다. 이러한 조건 아래 접속사의 기능을 대신해줄 대체물을 만드는 것입니다. 그러한 대체물을 ‘논리적 연결사’라고 합니다.

 

 

[물음 3] 위 글에서 제기된 문제는?

 

 

 

[물음 4] 위 글에 이어질 내용을 추측해 본다면?

 

 

 

 

 

부정 접속사에 대응하는 논리적 연결사 ‘￢’을 ‘부정 연결사’, 연접 접속사에 대응하는 논리적 연결사 ‘∧’를 ‘연접 연결사’, 이접 접속사에 대응하는 논리적 연결사 ‘∨’를 ‘이접 연결사’, 그리고 함의 접속사에 대응하는 연결사 ‘→’를 ‘함의 연결사’라고 합시다.

 

앞서 강조했듯이, 우리는 접속사의 기능이 어떤 식으로 진술들의 내용에 의존하는지를 알지 못합니다. 이 때문에, 정말 인간처럼 진술들의 내용을 파악할 수 있는 로봇을 만들 수는 없습니다. 인간의 판단을 흉내라도 내는 로봇을 만들려면, 진술들의 내용을 무시하는 것이 속 편합니다. 사건 혹은 사실을 묘사한 진술들의 참 거짓만 고려하자는 것입니다. 이러한 조건 아래 논리적 연결사의 기능을 규정해 보는 것입니다. 이를 위해 진술 변수들 ‘P, Q, R, ...’을 고려합시다. 진술 변수들 ‘P, Q, R, ...’에는 단순 진술이든 복합 진술이든 임의의 진술이 들어가게 됩니다.

 

‘￢P’는 P를 부정한 것입니다. P가 참이면 ￢P는 거짓입니다. 역으로 P가 거짓이면 는 ￢P참입니다. ‘T’가 참을, 그리고 ‘F'가 거짓이라고 할 때 ￢P의 진리표를 그려보면 다음과 같습니다. 

 

P	￢P
T
F

 

‘P∧Q’는 P와 Q 모두 동시에 참인 경우에만 참이라고 정의합시다. 즉, 그런 경우 이외에는 거짓으로 하자는 것입니다. 이를 진리표로 나타내면, 다음과 같습니다.

 

P	Q	P∧Q
T	T
T	F
F	T
F	F

 

‘P∨Q’는 P와 Q 중 적어도 하나가 참이면 참이라고 정의합시다. 즉, 둘 모두 거짓인 경우를 제외한 나머지 모든 경우들에 대해서는 참으로 하자는 것입니다. 이를 진리표로 나타내면 다음과 같습니다.

 

P	Q	P∨Q
T	T
T	F
F	T
F	F

 

‘P→Q’는 ‘P가 참일 때 Q는 거짓일 수 없다’는 것을 뜻합니다. 사건 혹은 사실을 묘사한 진술들은 참 또는 거짓 중 하나의 진리치만 갖는 것으로 가정합시다. 이러한 가정을 받아들이면, ‘P가 참일 때 Q는 거짓일 수 없다’는 것은 무엇을 뜻할까요?

 

• P가 참이고 Q가 거짓인 경우를 제외한 모든 경우는 참이다.

 

‘P→Q’의 진리표를 그려보면 다음과 같습니다. 

 

P	Q	P→Q
T	T
T	F
F	T
F	F	T

 

‘P→Q’에서 P를 ‘전건’, Q를 ‘후건’이라고 합니다. 위 진리표를 보면, 전건과 후건 모두 거짓인 경우에도 ‘P→Q’는 참이 됩니다. 이를 받아들이는 사람이 있는가 하면, 받아들이지 않는 사람도 있습니다.

 

앞서 강조했듯이, 인간의 판단은 진술들의 내용에 의존적입니다. 그러한 판단을 완전히 모방할 수 있는 로봇은 아직은 불가능합니다. 그래서 진술들의 내용을 무시하고, 진술들의 진리치만 고려하자고 했습니다. 이때 논리적 연결사들은 그러한 진리치들을 결합하는 방식이라고 할 수 있습니다. 특히 ‘함의 연결사’의 경우, ‘P→Q’를 규정하는 방식은 여러 가지입니다. 하지만 우리는 위 진리표의 규정 방식에만 머무를 것입니다.

 

 

[물음 5] 인간의 판단을 완전히 모방할 수 없는 로봇은 아직은 불가능합니다. 이에 대한 이유를 설명해 본다면?

 

 

 

 

 

[물음 6] 위 글의 진리표들을 마저 채워 본다면?

 

 

• ￢P’

P	￢P
T
F

 

 

• P∧Q

P	Q	P∧Q
T	T
T	F
F	T
F	F

 

 

• P∨Q

P	Q	P∨Q
T	T
T	F
F	T
F	F

 

 

• P→Q

P	Q	P→Q
T	T
T	F
F	T
F	F	T

 

 

[물음 7] ‘P→Q’의 두 진술 변수 P와 Q에 두 진술을 집어넣는다고 합시다. 실례로 ‘비가 온다’와 ‘눈이 온다’라는 진술을 집어넣으면, ‘비가 오면, 눈이 온다’라는 진술을 얻을 수 있습니다. 역으로 ‘비가 오면, 눈이 온다’는 진술에서 ‘P→Q’라는 형식을 발견할 수 있습니다. 따라서 ‘P→Q’와 같은 것에 진술을 집어넣을 때 P와 Q에 동일한 진술을 집어넣어서는 안 되겠죠. 이에 주의하여 질문에 답해 봅시다.

 

(1) ‘비가 온다면, 비가 온다’라는 진술에서 발견할 수 있는 형식은?

 

 

 

 

(2) ‘비가 온다면, 비가 오지 않는다’라는 진술에서 발견할 수 있는 모든 형식을 <보기>에서 고른다면?

 

<보기>

(가) P→P (나) P→￢P (다) P→Q

 

① (가) ② (나) ③ (다) ④ (가), (나) ⑤ (가), (다)

 

(3) P를 ‘배가 아프다’, Q를 ‘소화제를 먹는다’라고 할 때 다음 진술에서 발견할 수 있는 형식은?

 

• 배가 아프면, 소화제를 먹거나 먹지 않는다.

 

 

 

(4) (P∨Q)→(R∧S)에 대응하는 복합 진술을 하나 만들어 본다면?

 

 

 

 

(5) 다음 진리표의 빈 칸을 채워 본다면?

 

P	Q	S	￢Q	P∨Q	￢Q∧S	(P∨Q)→(￢Q∧S)
T	T	T
T	T	F
T	F	F
F	T	T
F	T	F
F	F	T
F	F	F

 

 

(6) 다음 진술 형식의 진리표를 그려 본다면?

 

• (P→Q)∨(Q→P)

 

 

 

 

 

 

 

• ￢P→(￢P∨Q)

 

 

 

 

 

 

 

• (P∨Q)→R

 

 

 

 

   

 

진술의 내용에 민감한 인간은 ‘비가 온다면, 비가 온다’ 혹은 ‘비가 온다면, 비가 오지 않는다’와 같은 표현을 사용하지 않습니다. 그러나 내용이 아닌 진리치들의 결합과 변환 방식을 다루는 형식 논리라는 분야에서는 그러한 표현도 허용됩니다.

 

앞서 살펴본 논리적 연결사들의 규정 방식에 따른 진리표들을 살펴보면 특이한 여러 현상을 발견할 수 있습니다. 그 중 하나는 두 개의 진리표가 동일한 경우입니다. 다음을 보죠.

 

• ￢(P∨Q)

P	Q	P∨Q	￢(P∨Q)
T	T	T	F
T	F	T	F
F	T	T	F
F	F	F	T

 

• ￢P∧￢Q

P	Q	￢P	￢Q	￢P∧￢Q
T	T	F	F	F
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

 

어떤 결과가 나왔나요? ￢(P∨Q)와 ￢P∧￢Q의 진리표는 동일합니다. ￢(P∨Q)가 참인 경우, ￢P∧￢Q도 참이며, 이에 대한 역도 성립합니다. 역시 ￢(P∨Q)가 거짓인 경우, ￢P∧￢Q도 거짓이며, 이에 대한 역도 성립합니다. 이렇게 동일한 진리표를 갖는 두 진술 형식은 ‘논리적 동치 관계를 맺는다’라고 합니다.

 

임의의 두 진술 P와 Q가 논리적 동치 관계를 맺고 있을 때 이를 ‘P↔Q’로 표현합니다. ‘P↔Q’는 사실 ‘(P→Q)∧(Q→P)’줄인 것입니다. 서로 논리적 동치 관계를 맺는 것은 하나가 참이면, 다른 하나도 참이며, 하나가 거짓이면 다른 하나도 거짓입니다. ‘(P→Q)∧(Q→P)’의 진리표는 이를 명백하게 보여줍니다.

 

   

[물음 8] 다음 진술 형식의 진리표를 그려 본다면?

 

• (P→Q)∧(Q→P)

 

 

 

 

 

 

 

[물음 9] ￢(P∧Q)와 ￢P∨￢Q는 서로 논리적 동치 관계를 맺고 있음을 증명해 본다면?

 

 

 

 

  

[물음 10] P→Q와 ￢Q→￢P가 서로 논리적 동치 관계를 맺고 있음을 증명해 본다면?

 

 

 

 

 

[물음 11] P→Q와 ￢P∨Q가 서로 논리적 동치 관계를 맺고 있음을 증명해 본다면?

 

 

 

 

서로 논리적 동치 관계를 맺는 두 형식을 만족하는 두 진술은 내용적으로 동일할까요? 그렇다고 장담할 수 없습니다. 조건문에서 전건은 ‘...라고 해보자’라는 가정의 의미를 담고 있는 경우가 있습니다. 실례로 ‘내 몸에 헬륨 가스가 들어 있다면, 마이티마우스처럼 날 수 있겠지’라는 진술을 들 수 있습니다. 이 진술에서 P→Q라는 형식을 발견할 수 있습니다. P→Q라는 형식은 ￢P∨Q와 논리적으로 동치입니다. ￢P∨Q에 대응하는 진술은 ‘내 몸에 헬륨 가스가 들어 있지 않거나, 나는 마이티마우스처럼 날 수 있다’입니다. 그 누구도 이 진술이 ‘내 몸에 헬륨 가스가 들어 있다면, 마이티마우스처럼 날 수 있겠지’과 내용적으로 동일하다고 호언장담할 수 없습니다.

 

또 다른 경우를 살펴보죠. P→Q와 ￢Q→￢P가 서로 논리적 동치 관계를 맺고 있습니다. 조건문에서 전건과 후건은 사건 발생의 원인과 결과의 관계, 즉 인과 관계를 나타내는 경우가 있습니다. 실례로 ‘비가 오면, 땅이 축축해진다’라는 진술을 들 수 있습니다. 비는 축축해진 땅에 대한 원인으로 거론되고 있습니다. 이 진술에서 P→Q의 형식을 찾을 수 있습니다. 여기서 P→Q의 형식은 ￢Q→￢P와 논리적으로 동치입니다. ￢Q→￢P에 대응하는 진술은 ‘땅이 축축해지지 않으면, 비가 오지 않는다’입니다. 이 진술은 내용적으로 ‘비가 오면, 땅이 축축해진다’와 다를뿐더러, 머리를 갸우뚱하게 만드는 진술입니다. 전건과 후건이 내용적으로 서로 안 맞아 떨어지는 느낌을 주는 진술이기 때문입니다.

 

앞서 강조했듯이, 인간의 판단은 진술의 내용에 의존적입니다. 접속사의 기능도 이에 대한 예외가 될 수 없습니다. 그런데 우리는 실제 판단이 어떤 식으로 내용에 의존하는지 아직 알지 못합니다. 이러한 상황에서 인간의 판단을 모방할 수 있는 로봇을 만들기 위한 가장 쉬운 방법은 진술들의 내용을 무시하는 것입니다. 이때 접속사에 대응된 논리적 연결사의 기능은 오로지 진술들의 진리치를 결합하거나 변환시켜주는 역할만 갖게 됩니다. 그 역할에 대한 규정 방식도 경우에 따라서는 민감한 논쟁거리가 됩니다.

 

두 진술의 내용적 관계는 연결사의 규정 방식에 따른 논리적 동치 관계와 같은 것으로 여겨져서는 안 됩니다. 논리적 동치 관계는 어디까지나 연결사에 관한 특정 규정 방식 아래 성립하는 두 형식 사이의 동치 관계이기 때문입니다.