불 논리 대수

* 다음은 어린이 추론학교 1 기생을 위한 사고 훈련 자료 중 일부입니다. 다음 자료를 저자 착한왕 이상하의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금합니다.

 

 

1.

불(George Boole, 1815~1864)의 논리 대수는 논리학의 추론 형식들이 수학의 한 분과, 특히 대수학에 귀속될 수 있다고 여긴 학풍 속에서 탄생했다. 그의 논리 대수는 현재 컴퓨터 하드웨어의 기본이 되는 마이크로프로세서(microprocessor) 속에 구현되어 있다.

 

 

2.

현대 정보론(theory of information)의 개척자인 섀넌(Claude Elwood Shannon, 1916~2001)은 1937년 석사학위 논문에서 ‘전기 스위치(electric switch)’들로 구성된 연산 장치를 다뤘다. 여기서 연산은 ‘논리 연산’을 의미한다. 논리 연산은 ‘연접(AND)’, ‘이접(OR)’, ‘부정(NOT)’과 같은 논리적 연결사 혹은 연산자들이 작동하는 방법을 다룬다. 주어진 입력에 대해 연산자들의 작동법이 기계적으로 구현된 경우, 논리 연산은 입력 상태를 변화시켜 출력 상태를 얻는 작동법이다. ‘논리 게이트’는 그러한 여러 작동법을 이진법에 근거한 ‘디지털 회로(digital circuit)’로 구현한 것이다.

 

위 도식은 두 개의 입력과 하나의 출력으로 구성된 단순한 논리 게이트의 일반 구조를 나타낸 것이다. 각 입력은 스위치가 켜진 상태와 꺼진 상태라는 두 상태를 갖는다. 출력 역시 그러한 두 상태를 갖는다. 출력 상태는 작동기에 의해 입력 상태가 변환된 것이다. 작동기가 특정 논리 연산을 수행하는 경우, 논리 게이트는 불 논리 대수의 기계적 모델로 간주될 수 있다.

 

 

3.

불은 구두 수선공인 아버지와 하녀인 어머니 사이에서 태어났다. 과학과 수학에 관심이 많은 아버지 덕에 불은 일찍이 과학과 수학을 접했다. 부모는 아들의 교육에 열성적이었다. 불은 어린 나이에 가정교사의 도움으로 라틴어를 익히기도 했다. 하지만 부모의 교육열도 가난을 극복할 수는 없었다. 직업학교를 다닌 것이 불이 받은 정규 교육의 전부다. 직업학교의 교과 내용과 수준은 불을 만족시켜줄 수 없었다. 그는 독학으로 고대 그리스어, 프랑스어, 독어 등 여러 언어와 수학의 각 분야를 습득해 나갔다. 불은 부모와 동생들을 부양하기 위해 19세부터 직접 학원을 운영했다.

 

불은 미적분의 문제를 대수적으로 다룰 수 있는 방법론을 연구했다. 당시 ?캠브리지 수학 학회지(Cambridge Mathematical Journal)?의 편집은 화학자이자 수학자인 그레고리(Duncan Gregory, 1813~1844)가 맡고 있었다. 그레고리는 그와 비슷한 연배인 불의 수학적 능력을 발견했고, 불은 그레고리의 조언과 자극 속에 일련의 논문을 ?캠브리지 수학 학회지?에 발표할 수 있었다. 이를 계기로 드모르강(Augustus De Morgan, 1806~1871) 등 당대의 수학자들과 불 사이에 교류 관계가 형성되었다. 그들의 도움으로 불은 1849년 아일랜드 코크(Cork)에 위치한 ‘퀸스 칼리지(Queens College)’의 수학과 교수가 될 수 있었다. 그의 논리 대수는 1854년 그곳에서 탄생한 작품이다.

 

불 논리 대수에 담긴 동기는 추론 형식을 대수학의 분과로 정착시키는 것이었다. 그 논리 대수는 연접, 이접, 부정과 같은 연산자의 작동 방법을 규정하는 대수 체계이다. 정수론이라는 대수 체계의 연산자들이 더하기, 빼기 등의 셈과 관련된 것이라면, 불 논리대수의 연산자들은 추론 형식의 논리 연산과 관련된 것이다.

 

불 논리 대수를 만족하는 모델들은 여러 가지다. 그 중 많이 알려진 것 세 개만을 언급한다면, 첫 번째는 집합론적 모델이다. 이 경우, 연접은 ‘교집합을 구성하는 것’, 이접은 ‘합집합을 구성하는 것’, 그리고 부정은 ‘여집합을 구성하는 것’에 해당한다. 두 번째는 논리 연산을 직관적으로 공간화시킨 모델, 곧 벤(John Venn, 1834~1923)에 의해 체계화된 벤다이어그램(Venn diagram) 기법에 근거한 모델이다. 세 번째는 논리 연산을 0과 1, 참과 거짓 혹은 높은 전압과 낮은 전압 등 단 2개의 불연속적인 값만으로 구성한 모델이다. 논리 게이트는 이 세 번째 모델과 직접적으로 연관된 것이다.

 

AND
입력 1	입력 2	출력
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

OR
입력 1	입력 2	출력
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

NOT
입력	출력
1	0
0	1

 

논리 게이트와 관련해 1을 ‘스위치가 켜진 상태’에, 0을 ‘스위치가 꺼진 상태’에 연관시켜보자. 연접 연산자 ‘AND’는 두 입력 상태 모두가 1일 때에만 출력을 1로 만들어주는 작동 방식이다. 그렇지 않은 경우의 입력 상태에 대해서 출력은 0이 된다. 이접 연산자 ‘OR’는 두 입력 상태 모두가 0일 때에만 출력을 0으로 만들어주는 작동 방식이다. 두 입력 상태 중 적어도 하나가 1이라면, 출력도 1이 된다. 부정 연산자 ‘NOT’은 입력 상태 0을 1로, 입력 상태 1을 0으로 만들어주는 작동 방식이다.

 

불 논리 대수의 논리 게이트 모델이 입력 상태를 변환시키는 다양한 작동법과 연관된다면, 전기적 스위치 회로는 논리 연산을 포함한 여러 종류의 연산을 수행할 수 있다. 현재 컴퓨터 하드웨어의 각종 마이크로프로세서, 곧 극소 연산 처리 장치는 이러한 섀넌의 아이디어를 실현시킨 것이다.

 

 

3.

정말 인간의 사고는 불 논리 대수에 따라 진행되는 것일까? 정말 인간의 두뇌에는 불의 논리 대수를 실현한 하드웨어와 같은 것이 담겨 있을까? 그렇지는 않다. 불의 논리 대수에서 논리적 연결사들의 기능은 진술의 내용과 무관하다. 즉, 그것들은 진리치의 변환과 결합만 다룬다. 반면에 논리적 연결사에 대응하는 실제 접속사들은 진술들의 내용적 결합과 관련되어 있다. 인간의 실제 판단은 내용 의존적이지만, 불 논리 대수는 아니다. 아직 인간의 사고가 어떻게 진행되는지는 규명되지 않았다. 하지만 불의 논리 대수는 인간의 사고를 모방하는 기계를 만드는 데 도움을 주었다.

 

 

[물음 8] 특정 논리 게이트를 나타내는 다음 도식을 봅시다.

검은색 선은 입력 상태 1과 관련된 것이고, 갈색 선은 입력 상태 0과 관련된 것입니다. 도식의 논리 게이트에서 ‘AND’와 ‘NOT’ 사이의 점선, 그리고 ‘OR’와 ‘AND’ 사이의 점선은 각각 어떤 색이어야 하는가? 그리고 최종 출력 ‘?’은 0과 1의 상태 중 무엇일까?

 

 

 

[물음 9] 다음 구성 방식에 따라 공책에 하나의 긴 글을 완성시켜 봅시다.