모든과 어떤

* 6학년 학생들로 구성된 어린이 추론학교 1 기생을 위한 사고훈련 자료 중 하나입니다. 다음 사고훈련을을 저자 착한왕 이상하의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금합니다.

 

 

모든과 어떤

 

 

일상생활에서 자주 사용되는 진술들을 살펴보면, ‘모든 개는 잡식성 동물이다’ 혹은 ‘어떤 개는 나를 잘 따르는 애완동물이다’와 같은 진술들이 있습니다. 이러한 진술들의 주어는 ‘땡칠이는 개다’와 같은 진술과 달리 특정 대상을 지칭하지 않습니다. 그 주어를 보면, ‘개’라는 개념이 ‘모든’ 혹은 ‘어떤’이라는 ‘양화사(quantifier)’와 관련되어 있음을 알 수 있습니다.

 

 

[물음 1] <보기>의 직접적인 결론으로 가장 적절한 것을 써본다면?

 

<보기>

‘땡칠이’는 특정 개를 지칭하는 반면, ‘개’라는 개념은 과거에 존재했거나 현재에 존재하거나, 그리고 미래에 존재할 모든 개를 뜻합니다. 따라서 ‘개’라는 개념은 모든 개들의 모임으로 나타낼 수 있습니다. 대상들의 모임은 집합으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

‘모든 개는 잡식성 동물이다’라는 진술을 살펴봅시다. ‘모든’은 개들의 집합과 잡식성 동물의 집합에서 부분이 아닌 전체를 지칭합니다. ‘잡식성 동물’이라는 개념은 잡식성 동물들의 집합으로 표현 가능합니다. 따라서 ‘모든 개는 잡식성 동물이다’라는 진술이 참인 경우를 해석하는 방법은 여러 가지 입니다. 여기서는 집합론에 근거한 해석만 생각합시다. 이때 ‘모든 개는 잡식성 동물이다’라는 진술이 참인 경우는 다음과 같이 해석할 수 있습니다.

 

• 임의의 대상 x에 대해, x가 개의 집합에 속하면 잡식성 동물의 집합에도 속한다.

 

위 진술을 다시 집합론의 기호를 빌려 풀어 보면 다음과 같습니다.

 

• 임의의 대상 x에 대해, ‘x∈{x|개(x)}’이면 ‘x∈{x|잡식성 동물(x)}’가 성립한다.

 

‘... 개다’라는 술어를 ‘개(x)’로 나타내면, ‘개’라는 개념은 그러한 술어를 만족하는 집합으로 나타낼 수 있습니다. 역시 ‘... 잡식성 동물이다’라는 술어를 ‘잡식성 동물(x)’로 나타내면, ‘잡식성 동물’이라는 개념은 그러한 술어를 만족하는 집합으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

[물음 2] 다음 진술과 일치하는 것은?

 

• 임의의 대상 x에 대해, ‘x∈{x|개(x)}’이면 ‘x∈{x|잡식성 동물(x)}’가 성립한다.

 

① {x|개(x)}={x|잡식성 동물(x)}

② {x|개(x)}≠{x|잡식성 동물(x)}

③ {x|개(x)}⊂{x|잡식성 동물(x)}

④ {x|개(x)}→{x|잡식성 동물(x)}

⑤ {x|잡식성 동물(x)}⊂{x|개(x)}

 

 

[물음 3] [물음 2]에서 주어진 진술을 그림으로 표시해 본다면?

 

 

 

지금까지의 이야기를 일반화해 봅시다.

 

• 모든 F는 G이다.

 

F와 G는 대상들의 집합으로 표현 가능한 개념들입니다. 이때 각 개념에 해당하는 술어 F(x)와 G(x)를 생각해 볼 수 있습니다. ‘모든 F는 G이다’라는 진술 형식은 집합론을 빌려 다음과 같이 해석 가능합니다.

 

• 임의의 대상 x에 대해, ‘x∈{x|F(x)}’이면, ‘x∈{x|G(x)}’가 성립한다.

 

위 진술 형식은 집합 사이의 포함 관계에 대한 정의를 따를 때 다음과 같습니다.

 

• {x|F(x)}⊂{x|G(x)}

 

 

 

[물음 4] 다음 진술들을 집합론에 근거해 해석해 본다면? (각 진술은 참이라고 가정하라.)

 

(1) 모든 똥싸개는 밥을 많이 먹는 사람이다.

 

(2) 날아다니는 모든 용은 불을 뿜는 동물이다.

 

(3) 모든 유니콘은 천리마이다.

 

(4) 모든 개똥벌레는 스스로 빛을 내는 동물이다.

 

(5) 모든 뱀은 혀를 날름거리는 동물이다.

 

 

‘어떤 개는 잡식성 동물이다’라는 표현에서 ‘어떤’은 개의 집합과 잡식성 동물의 집합 전체를 지칭하지 않습니다. 그것은 그런 집합의 부분만 지칭할 뿐입니다. 이를 집합론에 근거해 해석해 보면 다음과 같습니다.

 

• 어떤 x에 대해, ‘x∈{x|개(x)}’이고 ‘x∈{x|잡식성 동물(x)}’가 성립한다. (‘{x|개(x)}’에 속하면서 ‘{x|잡식성 동물(x)}’에 속하는 어떤 대상 x가 있다.)

 

위 진술을 그림으로 나타내는 경우, 다음 세 가지가 가능합니다.

 

 

위 세 가지 가능성을 하나로 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

 

[물음 5] 위 글의 그림에서 빈 칸 (A)와 (B)에 들어가야 하는 것은?

 

(A)                                         

(B)                                        

 

 

[물음 6] 다음 진술들을 집합론에 근거해 해석해 본다면? (각 진술은 참이라고 가정하라.)

 

(1) 어떤 똥싸개는 밥을 많이 먹는 사람이다.

 

(2) 날아다니는 어떤 용은 불을 뿜는 동물이다.

 

(3) 어떤 유니콘은 천리마이다.

 

(4) 어떤 개똥벌레는 스스로 빛을 내는 동물이다.

 

(5) 어떤 뱀은 혀를 날름거리는 동물이다.

 

 

[물음 7] ‘어떤 F는 G다’라는 진술 형식을 일반화한 것으로 적절한 것은?

 

① ‘x∈{x|F(x)}’이고 ‘x∈{x|G(x)}’를 만족하는 어떤 x가 있다.

② 임의의 x에 대해, ‘x∈{x|F(x)}’이면 ‘x∈{x|G(x)}’이다.

③ 임의의 x에 대해, ‘x∈{x|G(x)}’이면 ‘x∈{x|F(x)}’이다.

④ ‘x∈{x|F(x)}’이고 ‘x∉{x|G(x)}’를 만족하는 어떤 x가 있다.

⑤ ‘x∈{x|G(x)}’이고 ‘x∉{x|F(x)}’를 만족하는 어떤 x가 있다.

 

 

[물음 8] [물음 7]의 답을 그림으로 나타내 본다면?

 

 

‘그 어떤 개도 잡식성 동물이 아니다’라는 진술을 살펴봅시다. 이 진술은 무엇을 뜻할까요? 개 중에는 잡식성 동물이 없음을 뜻합니다. 개들은 라면을 좋아한다는 사실만으로 ‘그 어떤 개도 잡식성 동물이 아니다’라는 진술은 거짓임을 알 수 있습니다. 하지만 그러한 사실을 모르는 상태에서 ‘그 어떤 개도 잡식성 동물이 아니다’라는 진술은 참일 수도 거짓일 수도 있습니다. 그 진술이 참인 경우를 그림으로 나타내 보면 다음과 같습니다.

 

 

위 그림을 집합론에 근거해 해석해 보면 다음과 같습니다.

 

• {x|개(x)}∩{x|잡식성 동물(x)}=∅

 

 

[물음 9] ‘그 어떤 F도 G가 아니다’를 그림과 함께 집합론에 근거해 해석해 본다면?

 

 

[물음 10] 다음 각 진술을 집합론에 근거해 해석해 봅시다.

 

(1) 그 어떤 용도 꼬리를 가진 동물이 아니다.

 

(2) 그 어떤 사과도 배는 아니다.

 

(3) 그 어떤 사람도 날 수 있는 동물은 아니다.

 

 

왜 ‘모든 개는 꼬리를 가진 동물이 아니다’라는 진술 대신 ‘그 어떤 개도 꼬리를 가진 동물이 아니다’라는 진술을 사용할까요? 우리말에서 ‘모든’은 긍정문에서는 ‘전체’를 지칭하지만, 부정문에서는 맥락에 따라 ‘전체’ 혹은 ‘부분’을 지칭하기 때문입니다.

 

 

[물음 11] <보기>에서 ‘모든’은 무엇을 뜻할까요?

 

<보기>

쥐라면 당연히 꼬리를 가진 동물이라고 생각합니다. 꼬리 없는 쥐들도 존재할 수 있을까요? 불과 100 년 전만 하더라도, 그러한 쥐가 존재 가능하다는 주장은 터무니없는 것으로 여겨졌습니다. 하지만 유전 공학의 발달로 인해, 꼬리 없는 쥐가 존재할 가능성은 배제할 수 없게 되었습니다. 따라서 모든 쥐들이 꼬리를 가진 동물은 아닙니다.

 

 

‘어떤 개는 잡식성 동물이 아니다’라는 진술을 살펴봅시다. 이 진술은 무엇을 뜻할까요? ‘개이지만 잡식성 동물이 아닌 경우’를 뜻합니다. 이를 집합론에 근거해 해석해 보면 다음과 같습니다.

 

• 어떤 x에 대해, x는 ‘{x|개(x)}’에 속하지만 ‘{x|잡식성 동물(x)}’에는 속하지 않는다. 어떤 x에 대해, ‘x∈{x|개(x)}’이지만 ‘x∉{x|잡식성 동물(x)}’이다.

 

집합론에 근거한 위 해석을 그림으로 나타내면, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능합니다.

 

 

위 두 가지 경우를 동시에 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

 

[물음 12] 위 글의 그림에서 (A)와 (B)에 들어갈 것은?

 

(A)                                         

(B)                                         

 

 

[물음 13] ‘어떤 F는 G가 아니다’라는 진술 형식을 집합론에 근거해 해석해 본다면?

 

 

[물음 14] 다음 각 진술을 집합론에 근거해 해석해 본다면?

 

(1) 어떤 개는 꼬리를 가진 동물이 아니다.

 

(2) 어떤 천리마는 날 수 있는 동물이 아니다.

 

(3) 안경을 낀 어떤 사람은 흉악범이 아니다.

 

(4) 모든 개는 꼬리를 가진 동물이다.

 

(5) 어떤 천리마는 날 수 있는 동물이다.

 

(6) 안경을 낀 그 어떤 사람도 흉악범이 아니다.

 

 

[물음 15] 다음을 우리말로 표현해 본다면?

 

(1) {x|개(x)}⊂{x|애완동물(x)}

 

(2) {x|개(x)}∩{x|애완동물(x)}=∅

 

(3) 어떤 x에 대해, ‘x∈{x|개(x)}’이고 ‘x∈{x|애완동물(x)}’이다.

 

(4) 어떤 x에 대해, ‘x∈{x|개(x)}’이지만 ‘x∉{x|애완동물(x)}’이다.

 

 

이제 ‘모든 F는 G다’와 ‘어떤 F는 G가 아니다’라는 두 진술 형식 사이의 관계를 알아봅시다. ‘모든 F는 G다’가 참이라고 하면, ‘어떤 F는 G가 아니다’는 거짓이 됩니다. 역으로 ‘모든 F는 G다’가 참이라고 하면, ‘어떤 F는 G가 아니다’는 거짓이 됩니다. 또한 ‘모든 F는 G다’가 거짓이라면, ‘어떤 F는 G가 아니다’는 참이 됩니다. 역으로 ‘모든 F는 G다’가 거짓이라면, ‘어떤 F는 G가 아니다’는 참이 됩니다.

 

위처럼, 동시에 동일한 진리치를 가질 수 없는 두 진술은 서로 모순 관계를 맺는다고 합니다.

 

만약 {x|F(x)}가 공집합인 경우는 어떻게 될까요? 공집합은 모든 집합의 부분 집합으로 취급됩니다. 따라서 {x|G(x)}가 무엇이든, ‘{x|F(x)}(=∅)⊂{x|G(x)}’가 성립합니다. 즉. ‘모든 F는 G다’는 참이라는 진리치밖에 가질 수 없습니다. 그 진술을 집합론에 근거해 해석하는 한에서, 그렇습니다. 이때 ‘x∈{x|F(x)}’이지만 ‘x∉{x|G(x)}’는 성립할 수 없습니다. 왜냐하면 {x|F(x)}는 공집합이기 때문입니다. 따라서 ‘어떤 F는 G가 아니다’는 거짓이 됩니다. {x|F(x)}가 공집합인 경우에도 ‘모든 F는 G다’와 ‘어떤 F는 G가 아니다’는 동일한 진리치를 가질 수 없습니다. 그러한 경우, ‘모든 F는 G다’는 참이라는 진리치만 갖고, 이때 ‘어떤 F는 G가 아니다’ 거짓이기 때문입니다.

 

{x|F(x)}가 공집합이든 아니든, ‘모든 F는 G다’와 ‘어떤 F는 G가 아니다’는 모순 관계를 맺습니다.

 

 

[물음 16] 동시에 동일한 진리치를 가질 수 없는 두 진술은 서로 모순 관계를 맺는다고 합니다. 즉, 동시에 참이거나 거짓일 수 없는 두 진술은 모순 관계를 맺는 것입니다. 이때 임의의 진술 P와 모순 관계를 맺는 것은?

 

① P ② P의 부정 ③ P이고 P ④ P 또는 P ⑤ P이면 P

 

 

[물음 17] 그림을 가지고 ‘모든 F는 G다’와 ‘어떤 F는 G가 아니다’라는 두 진술 형식이 모순 관계를 맺음을 설명해 본다면?

 

 

이제 ‘그 어떤 F도 G가 아니다’와 ‘어떤 F는 G가 이다’라는 두 진술 형식을 살펴봅시다. ‘그 어떤 F도 G가 아니다’와 ‘어떤 F는 G이다’는 동시에 동일한 진리치를 가질 수 없습니다. 따라서 (                                                                           ).

 

 

[물음 18] 위 글의 빈 칸을 채워 본다면?

 

 

[물음 19] {x|F(x)}가 공집합인 경우, ‘그 어떤 F도 G가 아니다’는 참이라는 진리치만을 갖게 됨을 설명해 보세요. 그리고 이를 바탕으로 {x|F(x)}가 공집합인 경우에도 ‘그 어떤 F도 G가 아니다’와 ‘어떤 F는 G가 이다’라는 두 진술 형식은 서로 모순 관계를 맺음을 보인다면?

 

 

지금까지의 논의를 바탕으로 할 때 다음과 같은 그림을 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

[물음 20] 위 그림의 빈 칸 (A)~(D)를 채워 본다면?

 

(A)                                         

(B)                                         

(C)                                         

(D)                                         

 

 

[물음 21] 다음 각 진술과 모순 관계를 맺는 진술을 써 본다면?

 

(1) 모든 사람은 젖먹이 동물이다.

 

(2) 그 어떤 정치가도 양심적인 사람이 아니다.

 

(3) 어떤 육상 선수는 수영 선수이다.

 

(4) 어떤 지렁이는 기어 다니지 않는 동물이다.

 

(5) 지구를 사랑하는 모든 사람은 세계 정부를 꿈꾸는 사람이다.

 

(6) 체벌에 찬성하는 그 어떤 선생님도 자기 자식은 함부로 때리는 사람은 아니다.

 

(7) 말을 잘하는 어떤 사람은 교활한 사람이다.

 

(8) 교활한 어떤 사람은 말을 잘하는 사람이 아니다.

 

 

모든 개가 사람을 잘 따르는 동물은 아닙니다. 하지만 그렇다고 합시다. 즉, ( A )가 참이라고 가정하는 것입니다. 이때 당연히 ‘어떤 개는 사람을 잘 따르는 동물이다’라고 할 수 있습니다.

 

그런데 ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’라는 진술을 참인 경우, ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’라고 할 수 있을까요? 또한 유니콘의 집합이 공집합임에도 어떻게 ‘모든 유니콘은 날 수 있다’라는 진술이 참일 수 있을까요?

 

유니콘은 존재하지 않는 가상의 동물이기 때문에, 유니콘이라는 개념에 해당하는 집합은 ( B )이라고 할 수 있습니다. 모든 집합은 공집합을 부분 집합으로 포함하고 있습니다. 따라서 ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’라는 진술은 참입니다.

 

그러나 유니콘들의 집합이 ( B )이므로, 날 수 있는 말들 중에 유니콘은 존재하지 않습니다. 그래서 ( C )라고 할 수 없습니다. 오로지 유니콘들이 존재한다고 명시하거나 가정한 경우에만, 즉 유니콘들의 집합이 ( B )이 아니라고 가정한 경우에만, ( C )라고 할 수 있습니다. 일상생활에서 누군가 ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’라고 말할 때 그는 유니콘이 있다고 가정하고 있는 것입니다.

 

 

[물음 22] <보기> 중 위 글에 대한 평가로 적절하지 않은 것은?

 

<보기>

(가) (A)에는 ‘모든 개는 사람을 잘 따르는 동물이다’라는 진술이 들어가야 하는군. (나) (A)에는 ‘어떤 개는 사람을 잘 따르는 동물이 아니다’라는 진술이 들어가야 하는군. (다) (B)에는 ‘공집합’이 들어가야 하는군. (라) (C)에는 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’라는 진술이 들어가야 하는군. (마) (C)에는 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’라는 진술이 들어가야 하는군.

 

① (가), (다)   ② (가), (라), (마)   ③ (나), (라)   ④ (다), (라)   ⑤ (라), (마)

 

[물음 23] <보기>의 주장이 참이 되기 위해 반드시 가정되어야 하는 것은?

 

<보기>

날 수 있는 모든 말은 하루에 천리를 달릴 수 있는 천리마입니다. 따라서 어떤 날 수 있는 말은 천리마입니다.

 

① 날 수 있는 말은 유니콘이다.

② 까르마는 유니콘이다.

③ 날 수 있는 말들이 있다.  

④ 천리마는 존재하지 않는다.

⑤ 날 수 있는 말은 존재하지 않는다.

 

 

<이상한 나라의 앨리스>의 이야기는 누구나 한 번쯤 들어 보았을 것입니다. 이상한 앨리스가 사는 세계는 현실 세계가 아닙니다. 그러나 그러한 세계를 가정할 수 있습니다. 실제 존재하지 않지만 상상할 수 있는 것을 가정하는 것을 ‘존재 도입’이라고 합니다.

 

‘그 어떤 유니콘도 천리마가 아니다’라는 진술이 참이라고 합시다. 유니콘은 실제로는 존재하지 않는 대상입니다. 유니콘의 존재를 가정하지 않는 경우, 유니콘들의 집합은 공집합입니다. 이때 다음이 성립합니다.

 

• {x|유니콘(x)}=∅

 

따라서 천리마의 존재를 인정하든 말든 다음도 성립합니다. 임의의 집합과 공집합의 교집합은 공집합이기 때문입니다.

 

• {x|유니콘(x)}∩{x|천리마(x)}=∅

 

위를 받아들여도, 즉, ‘그 어떤 유니콘도 천리마가 아니다’라는 진술을 참으로 가정해도, ‘어떤 유니콘은 천리마가 아니다’라는 진술은 참이 될 수 없습니다. 왜냐하면 천리마에 속하지 않는 어떤 유니콘은 없기 때문입니다. 여기에서 ‘{x|유니콘(x)}=∅’임이 전제되어 있음을 잊지 말아야 하겠죠.

 

오로지 유니콘이 존재한다고 가정하는 경우에만, 즉, ‘{x|유니콘(x)}≠∅’이라고 가정하는 경우에만, ‘그 어떤 유니콘도 천리마가 아니다’라는 진술을 바탕으로 ‘어떤 유니콘은 천리마가 아니다’라고 주장할 수 있습니다. 유니콘의 존재를 도입해야 다음의 그림이 성립하며, 또한 유니콘에 관한 가상의 이야기를 만들 수 있습니다.

 

 

 

[물음 24] 위 그림에서 ‘유니콘의 집합은 공집합이 아님’은 무엇을 뜻합니까?

 

 

[물음 25] 위 그림에서 ‘화살표’는 무엇을 뜻합니까?

 

① 왼쪽 그림에 해당하는 사건이 오른쪽 그림에 해당하는 사건보다 먼저 발생했음을, 즉 선행했음을 뜻한다.

② 왼쪽 그림에 해당하는 사건 없이는 오른쪽 그림에 해당하는 사건이 발생할 수 없음을 뜻한다.

③ 왼쪽 그림에 해당하는 사건이 발생하면 오른쪽 그림에 해당하는 사건이 발생함을 뜻한다.

④ 왼쪽 그림에 해당하는 진술이 참일 때 오른쪽 그림에 해당하는 진술도 참임을 뜻한다.

⑤ 왼쪽 그림에 해당하는 진술이 거짓이면 오른쪽 그림에 해당하는 진술이 참임을 뜻한다.

 

 

유니콘 존재를 도입해 봅시다. 다시 말해, 정말 유니콘들이 사는 세계가 있다고 가정하자는 것입니다. 이때 ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’는 어떤 관계를 맺을까요?

 

 

[물음 26] ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’를 나타내는 그림을 각각 그려 본다면?

 

 

유니콘의 존재를 가정하고, ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’라는 진술이 참이라고 합시다. 이때 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’는 거짓이 됩니다. 역으로 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’가 참이라면, ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’는 거짓이 됩니다. 그렇다면 이 두 진술은 서로 모순 관계를 맺는 것일까요?

 

‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’가 서로 모순 관계를 맺는다면, 두 진술은 동시에 참일 수도, 또한 동시에 거짓일 수도 없어야 합니다.

 

‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’라는 진술이 거짓이라고 해 봅시다. 이때 다음의 (가) 두 가지 경우가 가능합니다.

 

 

[물음 27] 위 글과 아래 글을 참조하여, (가)의 두 가지 경우를 그려 본다면?

 

 

위 두 가지 경우에서 왼쪽은 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’를 나타냅니다. 그런데 오른 쪽은 ‘유니콘의 집합’과 ‘날 수 있는 말의 집합’이 서로 겹쳐 있습니다. 오른쪽은 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’에 해당하지 않습니다. 따라서 ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’가 거짓 일 때 ‘그 어떤 말도 날 수 있는 말이 아니다’는 참인지 거짓인지 불분명합니다. 이는 두 진술이 동시에 거짓일 가능성을 배제할 수 없음을 뜻합니다.

 

유니콘이 존재한다고 가정합시다. ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’는 동시에 참일 수 없지만, 두 진술이 동시에 거짓일 가능성은 남게 됩니다. ‘모든 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’는 ‘대반대 관계’를 맺는다고 합니다.

 

 

[물음 28] 위 글에 근거한 판단으로 적절한 것은?

 

<보기>

(가) ‘모든 유니콘은 날 수 있는 동물이다’와 ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 동물이 아니다’는 서로 모순적이군. (나) ‘모든 유니콘은 날 수 있는 동물이다’가 참이면, ‘어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’는 거짓이군. (다) ‘모든 유니콘은 날 수 있는 동물이다’가 거짓이면, ‘그 어떤 유니콘도 날 수 있는 말이 아니다’는 반드시 참이겠군.

 

① (가)   ② (나)   ③ (다)   ④ (가), (나)   ⑤ (나), (다)

 

 

유니콘들이 사는 세계가 있다고 가정합시다. 이때 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’는 어떤 관계를 맺을까요?

 

 

[물음 29] ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’에 해당하는 각각의 그림을 그려 본다면?

 

 

유니콘의 존재를 가정합시다. ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’가 거짓이면, ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’는 참입니다. 역으로 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’가 거짓이면, ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’는 참입니다. 따라서 이 두 진술은 동시에 거짓일 수 없습니다.

 

그렇다면 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’가 동시에 참일 가능성은 없는 것일까요?

 

‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’가 참이라고 합시다. 이 때 다음 (나) 두 가지 경우가 가능합니다.

 

 

[물음 30] (나)의 두 가지 경우를 그림으로 그려 본다면?

 

 

위 그림에서 왼쪽은 ‘유니콘의 집합’은 ‘날 수 있는 말의 집합’에 포함되어 있습니다. 이 경우, ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’는 거짓이 되겠죠. 그런데 위 그림에서 오른쪽은 ‘유니콘의 집합’과 ‘날 수 있는 말의 집합’이 겹쳐져 있습니다. 이 경우, ‘날 수 있는 말의 집합’에 속하지 않는 다른 어떤 유니콘이 존재할 수 있습니다. 즉, ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’가 참일 가능성은 남게 됩니다.

 

‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’는 동시에 거짓일 수 없습니다. 하지만 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’가 참인 경우, ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’는 참인지 거짓인지 불분명합니다.

 

유니콘의 존재를 가정하는 경우, ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이다’와 ‘어떤 유니콘은 날 수 있는 말이 아니다’는 ‘소반대 관계’를 맺는다고 합니다.

 

지금까지의 논의를 그림으로 나타내 보면, 다음과 같습니다.

 

 

만약 유니콘의 존재를 도입하지 않는 경우, 위 그림에서 남게 되는 것은 오로지 ( 다 )밖에 없습니다.

 

 

[물음 31] (다)에 들어가야 하는 관계는?

 

(다)                               

 

 

[물음 32] <보기> 중 다음 네 가지 진술 형식들에 대한 평가로 적절하지 않은 것은?

 

• (1) 모든 F는 G다.

• (2) 어떤 F는 G다.

• (3) 그 어떤 F도 G가 아니다.

• (4) 어떤 F는 G가 아니다.

 

<보기>

(가) (1)과 모순 관계를 맺는 것은 (4)이군. (나) (2)와 모순관계를 맺는 것은 (3)이군. (다) F에 해당하는 집합이 공집합이 아닌 경우, (1)이 참일 때 (2)도 참이군. (라) F에 해당하는 집합이 공집합이 아닌 경우, (2)가 참일 때 (3)도 참이군. (마) F에 해당하는 집합이 공집합이 아닌 경우, (1)과 (3)은 동시에 참일 수 없군. (바) F에 해당하는 집합이 공집합이 아닌 경우, (2)와 (4)는 동시에 참일 가능성은 없군.

 

① (가), (다)   ② (나), (라)   ③ (다), (마)   ④ (라), (바)   ⑤ (마), (바)

 

 

[물음 33] 다음 그림의 빈 칸에 들어가야 하는 것은?

 

 

 

(A)                                                      

(B)                                                      

(C)                                                      

 

 

[물음 34] {x|F(x)}가 공집합인 경우에도 성립하는 관계는?