대수 언어 익히기 시리즈 중 한 꼭지(중1 대상)

 

 

* 다음은 대수 언어 익히기 시리즈 중 한 꼭지이다. 이 시리즈는 조금은 황당한 시나리오가 중심이 되는데, 시나리오가 빠진 부분을 여기에 맛보기로 올린다. 대수 언어 익히기, 기하학 언어 익히기는 <청소년 사고 훈련 1>이나 <청소년 사고 훈련 2>를 이수한 초등학교 6학년 혹은 중학교 1, 2학년 학생들을 대상으로 한 교육 자료이다. 다음 자료를 저자 이상하의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금한다.

 

  

대수 언어 익히기 6

 

6. 연산에 대해 닫혀 있음

 

정수들에 대해 성립하는 법칙들을 떠올려 봅시다. 그러한 법칙들로는 ‘교환 법칙’, ‘결합 법칙’, ‘분배 법칙’, ‘항등원의 법칙’, ‘역원의 법칙’ 등이 있습니다.

 

[물음 1] 다음 도표의 빈 칸을 채워 본다면? 

• 임의의 정수 a, b에 대해 ‘a+b=b+a’가 성립한다.	더하기에 대한 (            )
• 임의의 정수 a, b에 대해 ‘ab=(   )’가 성립한다.	곱하기에 대한 교환 법칙
• 임의의 정수 a, b, c에 대해 ‘a+(b+c)=(a+b)+c’가 성립한다.	(                                         )
• 임의의 정수 a, b, c에 대해 ‘(   )=(ab)c’가 성립한다.	곱하기에 대한 결합 법칙
• 임의의 정수 a, b, c에 대해 ‘a(b+c)=ab+(   )’가 성립한다.	(                                   )
• 임의의 정수 a에 대해 ‘a+0=(    )’가 성립한다.	(                                                         )
• 임의의 정수 a에 대해 ‘a1=(   )’가 성립한다.	곱하기에 대한 항등원의 법칙
• 임의의 정수 a에 대해 ‘(   )+(-a)=0’가 성립한다.	(                                                             )
• (   )이 아닌 임의의 정수 a에 대해 ‘a(1/a)=(   )’가 성립한다.	곱하기에 대한 역원의 법칙

 

두 자연수를 더한 결과는 자연수입니다. 이때 ‘자연수는 더하기 연산에 대해 닫혀 있다’고 합니다. 또한 두 자연수를 곱한 결과도 자연수입니다. 이때 ‘자연수는 곱하기의 연산에 대해 닫혀 있다’고 합니다. 임의의 자연수에 대한 더하기의 항등원은 ( A )이고, 곱하기의 항등원은 ( B )입니다. 자연수에 대한 더하기의 항등원 ( A )는 자연수에 속하지 않습니다. 반면에 자연수에 대한 곱하기의 항등원 ( B )는 자연수에 속합니다.

 

임의의 자연수에 대한 더하기의 역원은 자연수가 아닌 음의 정수입니다. 또한 자연수에 대한 곱하기의 역원은 정수에 속하지 않는 분수입니다. 따라서 자연수들이 더하기와 ( C )에 대해 닫혀 있다고 하여, 그것의 항등원이나 역원이 반드시 자연수가 되는 것은 아닙니다. 자연수에 대한 더하기의 항등원, 자연수에 대한 더하기의 역원 및 곱하기의 역원은 자연수에 속하지 않습니다. 왜 이러한 일이 발생하는 것일까요?

 

자연수는 더하기와 곱하기의 연산에 대해 닫혀 있지만, 빼기와 나누기에 대해서는 닫혀 있지 않기 때문입니다. (가) 두 자연수를 뺀 결과가 항상 자연수는 아닙니다. 또한 (나) 두 자연수를 나눈 결과가 항상 자연수는 아닙니다.

 

자연수들이 더하기와 곱하기라는 연산에 대해 닫혀 있음은 ‘입력과 출력’의 관계로 나타낼 수 있습니다.

 

  

[물음 2] 위 글의 빈 칸 (A)~(C)에 들어가야 하는 것은?

 

(A)                                                      

(B)                                                     

(C)                                                      

 

[물음 3] 입력과 출력의 관계에 대한 위 그림을 설명해 본다면?

 

 

[물음 4] (가)에 대한 보기 세 개를 들어 봅시다.

 

 

[물음 5] (나)에 대한 보기 세 개를 들어 봅시다.

 

 

[물음 6] <보기> 중 잘못된 것은?

 

<보기> 

(가) 임의의 자연수에 대한 더하기의 항등원은 0이므로, 두 자연수를 더한 결과는 자연수가 아닌 경우도 있다. (나) 자연수들은 더하기에 대해 닫혀 있다. (다) 자연수들은 곱하기에 대해 닫혀 있다. (라) 자연수들은 빼기에 대해 닫혀 있다.

 

① (가), (나)    ② (가), (다)    ③ (가), (라)    ④ (나), (다)    ⑤ (다), (라)

  

 

자연수인 짝수들은 2, 4, 6, 8, 10, ...입니다. 따라서 자연수인 짝수는 ‘2n’ 혹은 ‘2m’으로 나타낼 수 있습니다. 이때 n, m에는 자연수가 들어갑니다. 따라서 자연수인 짝수는 다음 형태를 만족하는 수입니다.

 

• 자연수인 짝수=2×자연수

 

자연수인 두 짝수들을 더한 형태는 ‘2n+2m’, 즉 ‘2(n+m)’이 됩니다. 자연수들은 더하기 연산에 대해 닫혀 있기 때문에, ‘n+m’은 자연수를 나타냅니다. ‘2(n+m)’은 자연수인 임의의 짝수를 나타내는 ‘2×자연수’를 만족한다고 할 수 있습니다. 이렇게 생각해 보면, ‘2(n+m)’ 형태의 자연수는 짝수일 수밖에 없습니다.

 

  

자연수인 두 짝수를 곱한 형태는 ‘2n×2m’, 즉 ‘2(2nm)’이 됩니다. 자연수들은 곱하기 연산에 대해 닫혀 있기 때문에, ‘2nm’은 자연수를 나타냅니다. ‘2(2nm)’은 자연수인 임의의 짝수를 나타내는 ‘2×( A )’를 만족한다고 할 수 있습니다. 이렇게 생각해 보면, ‘2(2nm)’ 형태의 자연수는 짝수일 수밖에 없습니다.

 

  

[물음 7] (A)에 들어가야 하는 것은?

 

(A)                                                   

 

 

[물음 8] 입력과 출력의 관계에 대한 두 그림을 설명해 본다면?

 

 

[물음 9] 짝수인 자연수들에 대한 판단으로 올바른 것을 <보기>에서 모두 고른다면?

 

<보기> 

(가) 짝수인 자연수들은 연산 더하기에 대해 닫혀 있다. (나) 짝수인 자연수들은 연산 곱하기에 대해 닫혀 있다. (다) 짝수인 자연수들은 연산 빼기에 대해 닫혀 있다. (라) 짝수인 자연수들은 연산 나누기에 대해 닫혀 있다.

 

① (가), (나)    ② (가), (나), (라)    ③ (나), (다)    ④ (나), (라)    ⑤ (다), (라)

 

 

[물음 10] 다음 항등식을 성립하도록 해주는 법칙은?

 

• 2n+2m=2(n+m)

 

자연수인 임의의 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, ...입니다. 따라서 1보다 큰 임의의 홀수는 ‘2n+1’ 혹은 ‘2m+1’로 나타낼 수 있습니다. 이때 n, m에는 자연수가 들어갑니다. 따라서 1보다 큰 홀수는 다음 형태를 만족하는 수입니다.

 

• 1보다 큰 홀수=(2×자연수)+1

 

1보다 큰 두 홀수를 더한 형태는 ‘(2n+1)+(2m+1)’, 즉 ‘2(n+m+1)’이 됩니다. 자연수들은 더하기 연산에 대해 닫혀 있기 때문에, ‘n+m+1’은 자연수를 나타냅니다. 따라서 ‘2(n+m+1)’은 자연수인 임의의 짝수를 나타내는 ‘2×자연수’ 형태를 만족합니다. 이렇게 생각해 보면, 1보다 큰 두 홀수를 더한 형태 ‘2(n+m+1)’는 짝수일 수밖에 없습니다.

 

1보다 큰 두 홀수를 곱한 형태는 ‘(2n+1)×(2m+1)’, 즉 ‘4nm+2(n+m)+1’이 됩니다. ‘4nm+2(n+m)+1’은 ‘2(2nm+n+m)+1’와 같습니다. 자연수들은 더하기와 곱하기 연산에 대해 닫혀 있기 때문에, ‘2nm+n+m’은 자연수를 나타냅니다. ‘2(2nm+n+m)+1’은 1보다 큰 홀수를 나타내는 ‘( B )+1’의 형태를 만족하고 있습니다. 이렇게 생각해 보면, ‘2(2nm+n+m)+1’ 형태의 자연수는 1보다 큰 홀수일 수밖에 없습니다.

 

 

[물음 11] 위 글의 (B)에 들어가야 하는 것은?

 

(B)                                                                 

 

 

[물음 12] 홀수인 자연수들에 대한 판단으로 올바른 것을 <보기>에서 모두 고른다면?

 

 <보기>

(가) 홀수인 자연수들은 연산 더하기에 대해 닫혀 있다. (나) 홀수인 자연수들은 연산 곱하기에 대해 닫혀 있다. (다) 홀수인 자연수들은 연산 빼기에 대해 닫혀 있다. (라) 홀수인 자연수들은 연산 나누기에 대해 닫혀 있다.

 

① (가), (나)    ② (가), (라)    ③ (나)    ④ (나), (다)    ⑤ (다), (라)

 

 

[물음 13] 다음을 증명해 본다면?

 

• (2n+1)+(2m+1)=2(n+m+1)

 

<빈 칸 채우기>

1. (2n+1)+(2m+1)=((2n+1)+2m)+1 - 더하기에 대한 결합 법칙

2. ((2n+1)+2m)+1=(2n+(1+2m))+1 - (                                           )

3. (2n+(1+2m))+1=(2n+(2m+1))+1 - (                                           )

4. (2n+(2m+1))+1=((2n+2m)+1)+1 - (                                           )

5. ((2n+2m)+1)+1=(2(n+m)+1)+1 - (                                            )

6. (2(n+m)+1)+1=2(n+m)+(1+1) - 더하기에 대한 결합 법칙

7. 2(n+m)+(1+1)=2(n+m)+2

8. 2(n+m)+2=2((n+m)+1) - (                                                 )

9. 2((n+m)+1)=2(n+m+1) - 정의

   10. (2n+1)+(2m+1)=2(n+m+1)

 

<나의 증명>

 

 

 

[물음 14] 다음을 증명해 본다면?

 

• (2n+1)×(2m+1)=2(2nm+m+n)+1

 

<빈 칸 채우기>

1. (2n+1)×(2m+1)=(2n+1)2m+(2n+1) - (                                             )

2. (2n+1)2m+(2n+1)=2m(2n+1)+(2n+1) - (                                             )

3. 2m(2n+1)+(2n+1)=(2m(2n+1)+2n)+1 - 더하기에 대한 결합 법칙

4. (2m(2n+1)+2n)+1=2(m(2+1)+n)+1 - 분배 법칙

5. 2(m(2+1)+n)+1=2(2mn+m+n)+1 - (                                              )

6. (2n+1)×(2m+1)=2(2mn+m+n)+1

 

<나의 증명>

 

 

 

정수들은 연산 더하기와 곱하기뿐만 아니라 빼기에 대해서도 닫혀 있습니다. 두 정수를 더한 결과는 정수입니다. 두 정수를 곱한 결과는 정수입니다. 또한 두 정수를 뺀 결과도 정수입니다. 그러나 정수들은 나누기에 대해 닫혀 있지 않습니다.

 

 

[물음 15] 정수들이 나누기에 대해 닫혀 있지 않음을 보여 주는 보기 세 개를 만들어 본다면?

 

 

[물음 16] 음의 정수들은 더하기에 대해 닫혀 있습니다. 하지만 음의 정수들은 연산 빼기에 대해서는 닫혀 있지 않습니다. 음의 정수들이 빼기에 대해 닫혀 있지 않음을 보여 주는 보기 세 개를 만들어 본다면?

 

 

정수들의 경우, 정수에 대한 더하기의 항등원 0과 1 모두 정수에 속합니다. 또한 주어진 정수  a에 대한 더하기의 역원 ( A )도 정수에 속합니다. 그러나 주어진 정수  a에  대한 곱하기의 역원 ( B )도 정수에 속한다는 보장은 없습니다. 이에 대한 원인은 무엇일까요? 정수들은 연산 나누기에 대해서는 닫혀 있지 않기 때문입니다.

 

임의의 정수 a는 분모가 1인 분수 ( C )로 나타낼 수 있습니다. 유리수들은 그러한 분수뿐만 아니라 ‘정수가 아닌 분수’들까지 포함한 수들을 일컫습니다. 유리수들은 연산 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기에 대해 닫혀 있습니다.

 

 

[물음 17] 위 글의 빈 칸 (A)~(C)에 들어가야 하는 것은?

 

(A)                                                      

(B)                                                      

(C)                                                     

 

 

[물음 18] 다음 도표를 완성시켜 본다면? (각 물음에 대해 ‘그렇다’고 답해야 하는 경우는 ‘O’를, 그리고 ‘그렇지 않다’고 답해야 하는 경우는 ‘X’를 표시하시오.)

	자연수	전체수	정수	유리수
• 더하기에 대해 닫혀 있는가?
• 빼기에 대해 닫혀 있는가?
• 곱하기에 대해 닫혀 있는가?
• 나누기에 대해 닫혀 있는가?

 

 

연산에는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기만 있는 것일까요? 그렇지 않습니다. 문제를 해결하는 데 유용한 여러 종류의 연산들이 있습니다. 또 이미 알고 있는 연산들을 바탕으로 기괴하면서도 흥미로운 연산들을 만들어 볼 수 있습니다. 그러한 연산들은 이어지는 장에서 살펴 볼 것입니다. 그런데 시공간의 틈새에 갇힌 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이의 운명은 어떻게 되는 것일까요? 이에 대한 답도 이어지는 장에서 알게 될 것입니다.