일대일 대응

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토론 자료

- 일대일 대응 -

 

[예제 1~3] 다음 글을 읽고 물음에 답하세요.

풍뎅이 암컷은 수컷 풍뎅이 똥풍뎅, 은풍뎅, 금풍뎅, 초합금풍뎅 중 한 마리와 짝을 지으려고 합니다. 아래 그림에서 0과 1로 표시된 거리 단위들에는 암컷이 남긴 페로몬이 남아 있습니다. 모든 거리 단위들은 동일한 길이를 갖고 있습니다. 각 수컷 풍뎅이가 출발 지점으로부터 암컷에 도달한 경로는 0과 1로 기록됩니다. 실례로 초합금풍뎅의 이동 경로는 ‘0110’, 금풍뎅의 이동 경로는 ‘010’, 은풍뎅의 이동 경로는 ‘00’, 그리고 똥풍뎅의 이동 경로는 ‘1’로 기록됩니다. 각 풍뎅이의 이동 속도는 알 수 없습니다. 수컷 풍뎅이들의 이동 경로는 암컷에게 도착한 순서대로 기록되었는데, ‘0110101000’이었습니다.

 

[예제 1] 암컷에게 도착한 순서대로 풍뎅이들을 나열한 것은?

 

① 똥풍뎅-초합금풍뎅-금풍뎅-은풍뎅

② 은풍뎅-금풍뎅-똥풍뎅-초합금풍뎅

③ 금풍뎅-똥풍뎅-은풍뎅-초합금풍뎅

④ 초합금풍뎅-똥풍뎅-금풍뎅-은풍뎅

⑤ 똥풍뎅-금풍뎅-은풍뎅-초합금풍뎅

 

[예제 2] 암컷은 1이 들어 있지 않은 이동 경로를 따라온 풍뎅이를 영양식으로 잡아먹기로 했습니다. 이때 어느 풍뎅이가 죽게 될까요?

 

① 똥풍뎅   ② 금풍뎅   ③ 은풍뎅   ④ 초합금풍뎅   ⑤ 똥풍뎅, 초합금풍뎅

 

[예제 3] 암컷은 0이 두 번 들어간 풍뎅이를 잡아먹기로 했습니다. 이때 암컷과 짝을 짓게 될 풍뎅이는?

 

① 똥풍뎅   ② 금풍뎅   ③ 은풍뎅   ④ 초합금풍뎅   ⑤ 똥풍뎅, 초합금풍뎅

 

 

위에서 살펴본 예제들은 ‘시각 추론(visual inference)’이 개입된 판단과 관련된 문제들입니다. 문제에 주어진 조건들이 그림이나 도식에 어떤 식으로 반영되어 있는지를 잘 파악해야지만, 문제가 풀립니다.

 

 

[예제 4] 인도네시아 군도를 조사하던 한국 동물학 연구팀은 새로운 곤충 종을 발견하고 ‘울랄라’라는 학명을 붙였다. 모든 울랄라는 눈이 없다. 수컷들은 암컷이 남긴 특정 페로몬의 흔적에 따라 암컷에 접근할 수 있다. 다음은 암컷이 남긴 페로몬 흔적 지도이다.

 

 

0과 1로 표시된 이동 단위들에는 암컷이 남긴 두 종류의 페로몬이 각각 남아 있다. 각 이동 단위의 길이는 동일하다. A, I, S, R, T는 울랄라 수컷들인데, 수컷들의 이동 경로는 거꾸로 암컷으로부터 출발해 0과 1로 기록된다. 실례로 S가 암컷에 도착한 경우 그 이동 경로는 ‘0110’으로, 그리고 T가 암컷에 도착한 경우 그 이동 경로는 ‘1’로 암컷에게 인지되는 것이다. 이런 식으로 암컷은 수컷의 이동 경로뿐만 수컷의 활동성을 테스트할 수 있다.

 

<보기> 중 다음 <상황>에 근거해 참인 것은?

 

<상황>

• 수컷들의 이동경로는 암컷에게 도착한 순서대로 기록되었는데, ‘011110110’이었다. • 그 수컷들 중 한마리만 빼고 나머지의 이동 속도는 동일한 것으로 밝혀졌다. • 동시에 암컷에게 도달한 수컷들은 없었다.

 

<보기>

(가) 제일 처음 암컷에게 도달한 수컷은 제일 마지막 도착한 수컷보다 최대한 4배 빨리 이동했다. (나) I는 이동 과정에서 천적인 딱부리 새에게 잡혀먹은 것 같다. (다) 암컷에게 도달한 수컷들은 딱 세 마리다. (라) 세 번째로 도착한 수컷은 두 번째로 도착한 수컷보다 암컷에서 멀리 떨어져 있었다. (마) 제일 나중에 도착한 수컷이 암컷의 산란을 돕기 위해 영양식으로 잡아먹힐 경우, 그 수컷은 A이다.

 

① (가), (마)   ② (다), (마)   ③ (다), (라)   ④ (나), (다)   ⑤ (마)

 

 

[예제 4]의 이야기는 진화 과정에서 나타나는 ‘성 선택(sexual selection)’의 한 사례라고 할 수 있습니다. 자연 선택은 일반적으로 유사한 개체들의 모임, 즉 종(species)의 선택과 관련되어 있습니다. 특정 환경에 적합한 형태나 특징들을 가진 종이 살아남게 된다는 것이 자연 선택입니다. 암컷과 수컷의 구분이 있는 종 내 개체들 사이에서도 짝짓기를 둘러싼 경쟁이 있습니다. 수컷들은 암컷을 차지하기 위해 서로 경쟁하고, 또 암컷은 수컷을 선별합니다. ㉠ 이러한 성 선택의 과정에서 생존에 적합하지 않은 형태나 특징을 가진 수컷들도 생깁니다.

 

 

[예제 5] ㉠에 대한 사례를 들어 본다면?

 

 

[예제 4]의 이야기에서 알파벳 A, I, R, S, T와 숫자 0, 1의 특정 조합들 사이에 성립하는 ‘일대일 대응(one to one correspondence)’을 발견할 수 있습니다. 이를 알기 위해 자연수들의 집합 N(={1, 2, 3, 4, 5, ...})에 대해 성립하는 함수들을 살펴봅시다.

 

자연수들의 연산에는 더하기, 곱하기 등이 있습니다. 그러한 연산은 자연수의 순서쌍들 ‘(1,1), (1,2), (1,3), ..., (2,1), (2,2), (2,3), ..., (3,1), (3,2), (3,3), ...’을 특정 자연수들에 대응시켜 주는 함수의 일종입니다.

 

자연수의 순서쌍들 ‘(1,1), (1,2), (1,3), ..., (2,1), (2,2), (2,3), ..., (3,1), (3,2), (3,3), ...’은 자연수들의 집합을 곱한 것, 즉 ‘N×N’으로 정의됩니다. 이때 더하기와 곱하기는 다음과 같은 함수 형식을 만족하는 것들입니다.

 

• f: N×N→N

 

위에 따라 더하기는 다음과 같은 함수 형태로 나타낼 수 있습니다.

 

• +: N×N→N

 

 

[예제 6] 자연수들의 집합에 대한 곱하기를 함수 형태로 나타내 본다면?

 

 

[예제 7] 다음은 더하기 함수를 그림으로 나타낸 것입니다. 다음 그림을 완성시켜 본다면?

 

 

 

[예제 8] 곱하기에 해당하는 그림을 그려 본다면?

 

 

이제 임의의 두 집합 X와 Y에 성립하는 특정 함수 ‘f’는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

• f: X→Y

 

X는 함수 ‘f’의 정의역(domain), 그리고 Y는 공역(range)이라고 합니다. 함수는 다음 조건을 만족하는 대응을 뜻합니다.

 

• 정의역 X에 속하는 각 원소에 대응하는 단 하나의 원소가 공역 Y에 존재한다.

 

 

[예제 9] 다음 중 잘못된 것은?

 

① 자연수들에 대한 더하기를 함수로 취급할 때 정의역은 ‘N×N’이군.

② 자연수들에 대한 더하기를 함수로 취급할 때 공역은 ‘N’이군.

③ 자연수들에 대한 더하기를 함수로 취급할 때 각 정의역의 순서쌍에 대응하는 단 하나의 값이 있겠군.

④ 자연수들에 대한 곱하기를 함수로 취급할 때 정의역의 두 순서쌍에 대응하는 한 개의 값이 존재하는 경우는 없겠군.

⑤ 자연수들에 대한 곱하기를 함수로 취급할 때 공역의 두 값에 동시에 대응하는 정의역의 순서쌍은 없겠군.

 

 

[예제 10] 다음 그림의 대응 관계는 함수를 나타낼 수 없습니다. 이에 대한 두 가지 이유를 설명해 본다면?

 

 

[예제 11] 자연수들의 집합에만 국한해 생각하는 경우, 빼기라는 연산을 함수로 취급할 수 없는 이유는?

 

 

함수의 대응 관계는 크게 ‘단사 대응(injective correspondence)’, ‘전사 대응(surjective correspondence)’, ‘일대일 대응(one to one correspondence)’로 나뉩니다. 함수 ‘f: X→Y’를 가정 합시다. 즉, 정의역 X에 속하는 각 원소에 대응하는 단 하나의 원소가 공역 Y에 존재한다고 가정합시다. 이때 단사 대응, 전사 대응, 일대일 대응은 다음과 같습니다.

 

• 정의역 X의 두 원소에 대응하는 공역 Y의 원소는 존재하지 않는다. 이러한 경우, 해당 함수 ‘f’는 ‘단사 대응’을 만족하는 함수이다.

 

• 공역 Y의 각 원소에 대응하는 정의역 X의 원소가 적어도 하나 존재한다. 이러한 경우, 해당 함수 ‘f’는 ‘전사 대응’을 만족하는 함수이다.

 

• ‘f’가 단사 대응과 전사 대응을 동시에 만족하는 경우, 해당 함수는 ‘일대일 대응’을 만족하는 함수이다.

 

 

[예제 12] <보기> 중 곱하기라는 연산이 만족하는 것은?

 

<보기>

(가) 함수 (나) 단사 대응 (다) 전사 대응 (라) 일대일 대응

 

① (가), (나)   ② (가), (다)   ③ (가), (라)   ④ (나), (다)   ⑤ (다), (라)

 

 

[예제 13] 다음 그림에 근거한 주장 중 적절한 것에 대해서는 ‘O’를, 그리고 적절하지 않은 것에 대해서는 ‘X’를 표기해 봅시다.

 

 

(1) (가)는 함수를 나타낼 수 없겠군. (  )

(2) 단사 대응에 해당하는 것은 오로지 (나)밖에 없군. (  )

(3) (다)는 전사 대응에 해당하겠군. (  )

(4) 전사와 단사 대응 관계를 동시에 만족하는 경우는 (라)이군. (  )

(5) (라)는 일대일 대응을 보여주는군. (  )

 

 

이제 다시 [예제 4]의 이야기로 돌아가 봅시다. 그 이야기를 자세히 살펴보면, 다음 두 집합을 발견할 수 있습니다.

 

• 알파벳들의 집합 {A, I, R, S, T}

 

• 0과 1의 특정 조합들로 구성된 집합 {                    }

 

 

[예제 14] 위 글에서 공란으로 남겨진 0과 1의 특정 조합들의 집합을 채워 본다면?

 

 

[예제 15] [예제 4]의 이야기에서 알파벳들의 집합 그리고 0과 1의 특정 조합들로 구성된 집합 사이에는 일대일 대응이 성립합니다. 이를 그림으로 나타내 본다면?

 

 

[예제 16] ‘응시하다’를 뜻하는 영어 단어 ‘stair’에 해당하는 0과 1의 조합은? ([예제 4]의 이야기에 근거해 답하시오.)

 

 

[예제 17] [예제 4]의 이야기에서 울랄라 암컷과 수컷의 짝짓기 과정을 함수로 나타내 보려고 합니다. 그 과정을 대응 관계의 그림으로 나타내 본다면?

 

 

[예제 4]의 이야기에서 무엇을 알 수 있을까요? ‘A, B, C, D, E, ..., Z’라는 알파벳들과 일대일 대응 관계를 맺는 0과 1의 조합 방식들을 생각해 볼 수 있습니다. 따라서 알파벳을 사용한 단어, 그리고 단어들을 조합한 진술들과 일대일 대응 관계를 맺는 0과 1의 조합들이 가능합니다. 이렇게 단어들을 0과 1의 조합들로 변환하는 것을 ‘부호화(coding)’라고 합니다.

 

 

[예제 18] [예제 4]의 이야기를 컴퓨터와 연관시켜 본다면?