[스크랩] 대수 언어 익히기6. 이상한 연산

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대수 언어 익히기 6

 

6. 이상한 연산

 

연산에는 더하기, 곱하기, 빼기, 나누기만 있는 것은 아닙니다. 또 우리에게 친숙한 더하기, 곱하기, 빼기, 나누기를 가지고 다양한 연산을 만들 수 있습니다. 이때 ‘정의(definition)’를 사용할 수 있니다.

 

정의는 ‘피정의항(definiendum)’과 ‘정의항(definiens)’으로 구성됩니다. 개라는 동물이 어떤 동물인지를 정의한다고 합시다. 이때 다음과 같은 개에 대한 정의가 가능합니다.

 

• 개는 주인을 보면 꼬리를 흔드는 애완동물이다.

 

위 정의에서 ‘개’는 피정의항이며, ‘꼬리를 흔드는 애완동물’은 정의항입니다. 개에 대한 위 정의는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

• 개 =Df 주인을 보면 꼬리를 흔드는 동물

 

 

[물음 1] <피정의항 =Df 정의항>의 구성 방식을 이용해 다음을 정의해 본다면? (정의할 때 정의항은 가급적 피정의항에 해당하는 특징들을 표현하도록 해주는 것이 좋습니다.)

 

(1) 물에 대한 정의를 만들어 보세요.

 

(2) 등산에 대한 정의를 만들어 보세요.

 

(3) 고양이에 대한 정의를 만들어 보세요.

 

(4) 고래에 대한 정의를 만들어 보세요.

 

(5) 인간에 대한 정의를 만들어 보세요.

 

 

[물음 2] 임의의 정수 a, b에 대한 연산 ‘@!’는 다음과 같이 정의된 연산입니다.

 

• a@!b =Df 5(a+b)-2

 

(1) 다음 그림의 ‘?’를 채워 본다면? (반드시 입력에 주어진 수들의 순서에 따라 연산을 해야 합니다.)

 

(2) (1)의 출력에 나타난 결과들을 가지고 추측할 때, <보기> 중 명백히 잘못된 것을 모두 고른다면??

 

<보기> 

(가) 연산 @!는 정수들에 대해 닫혀 있을 것 같아. (나) 연산 @!는 자연수들에 대해 닫혀 있을 것 같아. (다) 연산 @!는 전체수들에 대해 닫혀 있을 것 같아.

 

① (가)   ② (나)   ③ (다)   ④ (가), (나)   ⑤ (나), (다)

  

 

[물음 3] 임의의 정수 a, b에 대한 연산 ‘#’는 다음과 같이 정의된 연산입니다.

 

• a#b =Df ab-2/5

 

(1) 다음 그림의 ‘?’를 채워 본다면? (반드시 입력에 주어진 수들의 순서에 따라 연산을 해야 합니다.)

 

(2) 연산 ‘#’는 정수들에 대해 닫혀 있습니까?

 

 

[물음 4] 더하기, 곱하기, 빼기를 가지고 자신만의 연산을 만들어 본다면? (반드시 자신만의 연산을 <피정의항 =Df 정의항>에 따라 정의하고, ‘입력과 출력 관계’의 그림으로 그 보기를 만들어야 합니다.

 

• 나의 정의:

 

• 나의 그림:

 

[물음 5] 임의의 정수 에 대한 연산 ‘■’은 다음과 같이 정의된 연산입니다.

 

• ‘a>0’이면, ■a =Df a+1

‘a=0’이면, ■a =Df 0

‘a<0’이면, ■a =Df a-1

 

(1) 연산 ‘■’을 정수들 1, 3, 0, -1, -5에 적용한 결과는?

 

 

(2) ‘■’를 정수들에 적용할 때 연산 결과로 나타날 수 없는 수들을 <보기>에서 모두 고른다면?

 

<보기>

(가) 0   (나) 1   (다) -1   (라) 11   (마) 1999

 

① (가)   ② (가), (다)   ③ (나), (다)   ④ (다), (라)   ⑤ (라), (마)

 

(3) ‘■’를 정수들에 적용할 때 연산 결과들을 수선 위에 표시해 본다면?

 

 

요정 사이렌은 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이를 시간의 틈새에 가두었습니다. 며칠이 지나도 아이들이 돌아오지 않자, 부모님들은 경찰에 신고했습니다. 아이들의 사진이 붙은 전단지가 동네 곳곳에 붙여졌습니다. 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이가 영원히 사라져 돌아오지 않기를 바라는 아이들도 있었습니다. 그러나 평소 현창이와 아주 사이가 좋지 않은 유나와 효빈이는 그런 아이들과 달랐습니다.

 

유나와 효빈이는 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이 사진이 붙은 전단지를 전봇대에 붙이고 있었습니다. 그런데 저쪽에서 이상한 아저씨가 작은 손전등과 같은 것을 들고 이곳저곳을 뒤지고 있었습니다.

 

“아저씨 여기서 뭐 하세요?”

 

“흠, 여기에 사이렌이 왔다 간 흔적이 있군. 아, 나는 ‘닥털후’라는 사람이란다. 아니 사실은 시공간을 자유롭게 여행하는 외계인이라고 할 수 있지.”

 

“사이렌이라뇨?”

 

닥털후는 손으로 닭 모가지 모양의 큰 상자를 가리켰습니다.

 

“저것은 ‘닥디스’라는 것이야. 닥디스를 타고 시공간을 여행하지. 그리고 이 손전등 같이 생긴 물건은 ‘꼬꼬드라이버’라고 해”

 

유나와 효빈이는 닥털후와 함께 닥디스를 타고 과거로 갔습니다. 그리고 아이들이 사라진 이유를 알게 되었습니다.

 

“사이렌이라는 요정은 아주 XX 년이군요.”

 

“그렇지 않단다.”

 

사이렌은 사람들의 버릇이나 행동을 바꾸어 주려는 요정입니다. 만약 사이렌이 버릇이나 행동을 바꿀 수 없는 사람이라고 판단하면 그 사람을 일단 시간의 틈새에 가둡니다. 그리고 그 사람의 버릇이나 행동을 바꿀 수 있는 방법을 고민한다고 합니다.

 

“그렇다면, 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이가 우리에게 되돌아올 가능성은 없군요. 왜냐하면 ( A )

 

이 말을 들은 닥털후는 고개를 저었습니다. 시간의 틈새에서 아이들을 빼낼 방법이 있기 때문입니다. 닥털후의 말에 따르면, 사이렌은 사람들에게 번호를 붙여 사람들을 기억한다고 합니다. 우리 우주의 사람들에게는 자연수를 붙이는 반면, 평행 우주의 사람들에게는 음의 정수를 붙인다고 합니다. 그렇다면, 사이렌은 시간의 틈새에 갇힌 사람들은 어떻게 기억할까요?

 

예를 들어 자연수 ‘a’가 붙여진 어느 사람이 시간의 틈새에 갇히면, 사이렌은 그 사람에게 ‘-1/a’로 기억합니다. 사이렌이 그 사람을 ‘-1/a’로 기억하는 한, 그 사람은 시간의 틈새에서 빠져 나올 수 없습니다.

 

닥털후는 시공간의 틈새에 갇힌 사람들에게 붙여진 ‘-1/a’라는 수를 ‘a’로 바꿀 수만 있다면 아이들을 구해낼 수 있다고 말했습니다. 그런데 그렇게 바꾸는 방법이 머릿속에 쉽게 떠오르지 않는다는 것입니다. 유나와 효빈은 이 말을 듣고 깊은 생각에 잠겼습니다. 그리고 한참 후 소리를 질렀습니다.

 

“닥털후 아저씨, 방법을 찾았어요!”

 

다음은 유나와 효빈이 아이들을 구하기 위해 만든 연산 ‘오메가’입니다.

 

• 오메가 =Df (-1/a)×(-a2)

 

위처럼 정의된 연산을 보자, 닥털후는 소리쳤습니다.

 

“너희들은 천재야!”

 

‘오메가’연산이 써진 종이를 사이렌의 입 속에 집어넣으면 시간의 틈새에 갇힌 아이들을 구할 수 있다고 합니다. 그런데 그렇게 하면, 정말 나쁜 사람들까지도 구원을 받게 됩니다. 일단 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이만 시간의 틈새에서 구해내야 합니다. 이를 위해서는 ( B )을 알아야 합니다.

 

이제 시간의 틈새에 갇힌 아이들을 빼내기 위한 모든 작전이 끝났습니다. 유나와 효빈이는 수업 시간에 큰 소리를 질렀습니다. 그러자 유나와 효빈의 이마에 검은 점이 생기면서 요정 사이렌이 나타났습니다. 이때 닥털후가 꼬꼬드라이버를 켰습니다. 꼬꼬댁 소리와 함께 파란 불빛이 요정의 입을 비추자, 시간의 틈새에 갇힌 각 사람의 얼굴과 그 사람에 대응된 분수가 입체 영상으로 나타났습니다.

 

“명진이다, -1/5. 민상이다, -1/3. 민종이다, -1/2, 일한이다, -1/7, 현창이다, -1/8.”

 

만약 명진, 민상, 민종, 일한, 현창이가 시간의 틈새에 갇히지 않았다면, 각 아이에게 붙은 수는 ( C )입니다. 닥털후는 ‘오메가’ 연산에 아이들에게 붙은 수를 집어넣어 얻어진 결과들을 종이에 쓴 다음, 그 ㉠ 종이를 사이렌의 입 속에 던졌습니다.

 

한 동안 정적이 흘렀습니다. 사이렌도 희미하게 사라졌습니다. 저 멀리 환한 불빛이 비쳤습니다. 그리고 사라졌던 아이들이 한 명씩 나타났습니다.

 

[물음 6] 빈 칸 (A)에 들어갈 내용을 써 본다면?

 

 

[물음 7] 빈 칸 (B)에 들어가야 하는 것은?

 

 

[물음 8] 빈 칸 (C)에 들어갈 수들은?

 

 

[물음 9] ㉠의 종이에 써진 것은?

 

 

[물음 10] 다음의 정의와 역원의 법칙을 이용해 ‘(-1/a)×(-a2)=a’임을 증명해 본다면?

 

• a2 =Df a×a

• 0이 아닌 임의의 정수 a에 대해 ‘a(1/a)=1’이 성립한다.

 

 

 

출처 : 추론학교

글쓴이 : 착한왕 원글보기

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