수학적 표현과 사고 4

기호 및 표현의 개체화

* 다음은 원고 의 일부이다. 앞뒤 맥락을 모르는 상태에서 다음 글을 정확히 이해하기는 힘들다. 하지만 이 부분적인 글 마지막에 던져진 물음에 대해 고민해 보는 것은 흥미로울 것이다. 기호 및 표현의 개체화 산수의 연산을 익힌 아이들은 다음과 같은 표현들을 배우게 됩니다. • ‘x>3’을 만족하는 어떤 자연수 x가 있다. • 모든 혹은 임의의 자연수 x에 대해, a가 1보다 같거나 크다면 ‘ax+1>x’이다. 위의 첫 번째 표현은 항상 참인 진술입니다. 아직 변수의 사용법을 체득하지 못한 아이들에게 ‘x>3’보다는 ‘□>3’이라는 표현 방식이 가깝게 다가올 것입니다. 아이들은 □에 자연수들 1, 2, 3, ...을 넣어 보다가, ‘x>3’를 만족하는 자연수들이 있다는 사실을 발견하게 됩니다. 두 번째 표..

문화, 생존 환경, 신체 구조와 표현법(실험판)

3.3. 표현 3.3.1. 문화, 생존 환경, 신체 구조와 표현법 3.3.2. 표현법과 절차, 표현법과 형식화 (이 작업에서 중요한 부분 중 하나, 생략) 3.3.3. 보기들 (생략) 문화, 생존 환경, 신체 구조와 표현법 이 작업에서 ‘표현’이란 ‘기호들의 조합’, ‘직관적 표상들의 조합’ 혹은 ‘기호와 표상들의 조합’을 뜻합니다. 그러한 조합은 특정 대상을 나타내거나, 참 거짓의 판단 대상이 됩니다. 그러한 조합을 만들어 내는 사용법 속에서 기호들은 의미를 갖는 것이며, 특정 직관적 표상은 새로운 의미를 획득하기도 합니다. 먼저 다음 두 표현을 비교해 봅시다. (i)과 (ii)는 각각 1, 2, 3을 나타낸다고 합시다. 이러한 약속 아래 원, 섬, 점 등의 직관적 표상들은 원래의 의미에 더해 새로운 ..

외연과 내연의 비대칭성: 집합론적 해석

2.6. 내연과 외연의 비대칭성 2.6.1. 외연 생략 2.6.2. 내연 1 생략 2.6.3. 내연 2 생략 2.6.4. 추상적이면서 보편적이지 않은 수들 생략 2.6.5 비대칭성 엄격한 분류에 따른 경우, ‘개’의 외연과 ‘포유류’의 외연을 비교해 봅시다. 후자의 외연이 전자의 외연보다 큼을 알 수 있습니다. 모든 개들은 포유류이기도 하니까요. 이를 논리적 집합들의 관계로 나타내면 다음과 같습니다. • {x|개(x)}⊊{x|포유류(x)} 그런데 ‘개’의 내연은 ‘포유류’의 내연보다 큽니다. 모든 개들은 포유류의 공통 특징을 갖고 있기 때문입니다. ‘개’의 내연이 ‘포유류’의 내연보다 크다는 것은 무엇을 뜻할까요? 개를 정의하거나 설명하려 할 때 포유류의 공통 특징을 거론해야 합니다. 개의 정의는 ‘개는..

공집합의 시각적 의미와 원소 집어넣기 (3차 수정)

1.4. 개와 고양이의 내연적 관계 생략 1.5. 현실적으로 불가능하지만 논리적으로 가능한 것 생략 1.6. 개체란 생략 1.7. 개(x)와 {x|개(x)} (1) 두 집합의 같음 생략 (2) 두 집합의 다름 생략 (3) 공집합의 원래 의미와 원소 집어넣기 (4) 집합의 두 가지 구성 방식 블로그에 올릴 예정 (이 부분을 보아야 (3)이 좀 더 설득력을 갖게 되므로) 1.8. 내연과 외연의 비대칭성 생략 2. 원과 '{}'의 차이 (4가지 정도가 있는데 한 개 정도 올릴 예정) * 다음 글은 실험의 일종임을 밝혀둔다. 원과 {}의 유사성과 차이를 다루고, 관련된 여러 문제들을 해결한 후, 관련 수학 역사의 문헌들을 재정리한 후 수정 할 예정. (3) 공집합의 시각적 의미와 원소 집어넣기 집합론의 관계, ..