GCTC 심화학습: 사차원(Four Dimensionality)

* 다음 심화 학습 자료를 저자 이상하의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금한다. (GCTC 031-381-2282)

 

 

사차원

 

※ 다음은 2009년 3월 고3 전국연합학력평가 언어 영역 47에서 50번 문제의 제시문이다. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

유클리드는 ‘차원’이라는 용어를 사용하여 길이·폭·깊이라는 사물의 성질에 수학적 의미를 부여한 사람이다. 유클리드 기하학에서 직선은 전형적인 일차원적 사물로 정의되는데, 이는 직선이 길이라는 단 하나의 성질을 갖고 있기 때문이다. 같은 방식으로, 길이와 폭이라는 성질을 갖고 있는 평면은 이차원적 사물의 전형이며, 길이·폭·깊이를 모두 갖고 있는 입체는 삼차원적 사물의 전형이다. 이렇게 유클리드 시대의 수학은 삼차원 세계에 대한 고대 그리스인들의 생각을 수학적으로 뒷받침하였다.   유클리드 이후 여러 세대를 거치면서도 이 세계는 계속해서 삼차원으로 인식되었다. 사차원에 대한 어떠한 생각도 수학적으로는 터무니없다고 무시되었다. 위대한 천문학자 톨레미조차 사차원에 대한 생각을 믿지 않았다. 공간에 서로 수직하는 세 직선을 그리는 것은 가능하지만 그와 같은 네 번째의 축을 그리는 것은 불가능하다는 것이 그의 설명이었다.   근대에 들어서 프랑스의 수학자 데카르트는 유클리드와 다른 방식으로 기하학에 접근했다. 대상의 길이·폭·깊이가 아닌 ‘좌표’라는 추상적 수치 체계를 도입한 것이다. 그에 따르면 어떤 사물의 차원은 그것을 나타내기 위해 필요한 좌표의 개수와 상관관계가 있다. 예를 들어 하나의 선은 오직 하나의 좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로 일차원이며, 두 개의 좌표를 써서 나타낼 수 있는 평면은 이차원이다. 같은 방법으로 입체가 삼차원인 이유는 이를 나타내기 위하여 세 개의 좌표가 필요하기 때문이다. 유클리드의 차원이 감각적인 대상의 특성에 기반한다는 점에서 질적이라고 한다면, 데카르트의 차원은 추상적인 수치에 기반한다는 점에서 양적이었다. 그는 사차원의 가능성을 모색해 보다가 결국 스스로 포기하고 말았는데, 눈으로 보여 줄 수 없는 것의 존재 가능성을 인정하지 않으려 했던 당시 수학자들의 저항을 극복하지 못했기 때문이다.   사차원의 개념이 인정을 받은 것은 19세기 독일의 수학자 리만에 이르러서이다. 그는 데카르트의 좌표에 대한 정의를 활용하여 0차원에서 무한대의 차원까지 기술할 수 있다는 점을 입증하였다. 그에 따르면, 감지할 수 있는 공간에서만 수학적 차원을 언급할 필요가 없다. 단지 순수하게 논리적으로 개념적 공간을 언급할 수 있으면 족한데, 그는 이를 다양체(manifold)라는 개념 속에 포괄하였다. 다양체는 그것을 결정하는 요인의 개수만큼의 차원을 갖게 된다. 헤아릴 수 없이 많은 요인들이 작용하여 이루어지는 어떤 대상이나 영역이 있다면, 그것은 무한 차원에 가까운 다양체라고 할 수 있다.   차원에 대한 정의를 자유롭게 만든 리만 덕택에, 아인슈타인은 이 우주가 사차원의 다양체라고 결론 내릴 수 있었다. 공간을 이루는 세 개의 차원에 시간이라는 한 개의 차원을 더하면 우주의 운동을 설명할 수 있다고 본 것이다.

 

1. 어떤 개념이 서로 모순적인 판단을 발생시킬 때, 그 개념은 ‘모순적 개념’으로 규정된다. 다음은 ‘동시에 둥글면서 사각형인 대상’이라는 개념이 모순적임을 보여주는 논증이다. 다음 논증의 빈 칸을 채워 본다면?

 

• 동시에 둥글면서 사각형인 대상이 있다고 가정해 보자.

• (                                                                    )

• 그 대상은 또한 사각형이다.

• (                                                                    )

• 그 대상은 둥근 형태이면서 둥근 형태가 아니다.

• 따라서 둥글면서 사각형인 대상이라는 개념은 모순적이다.

   

2. 다음 조건을 따를 때 <보기> 중 잘못된 것을 모두 고른다면?

 

• 모순을 발생시키는 것은 논리적으로 불가능한 것으로 여겨진다. 논리적으로 불가능한 것은 구체적 표상으로 상상 불가능하지만, 상상 불가능하다고 하여 반드시 논리적으로 불가능한 것은 아니다.

 

<보기>

(가) 둥글면서 동시에 사각형인 것은 사차원 개념과 마찬가지로 논리적으로 불가능한 것이다. (나) 삼차원 시공간 개념은 모순을 발생시키기 때문에 우주의 운동을 설명할 수 없다. (다) 리만에서 아인슈타인에 이르는 여정은 논리적으로 가능한 것이 반드시 상상 가능한 것은 아니라는 사실에 대한 보기가 된다. (라) 무한 차원은 상상 불가능하지만 논리적으로 불가능한 것은 아니다. (마) 삼차원의 공간 개념은 일차원의 시간 개념과 모순 관계를 맺는다.

 

① (가), (나), (다)          ② (나), (다), (라)         ③ (나), (라)

④ (가), (나), (마)          ⑤ (다), (마)

   

3. ‘O’는 성립 가능함을, ‘X’는 성립 불가능함을 뜻한다. 다음 <도표>에서 명백히 잘못된 것은? 

	사차원	둥글면서 동시에 사각형인 것
표상 가능한가?	(가) X	X
논리적으로 가능한가?	(나) O	(다) O
현실세계의 문제를 푸는 데 사용 가능한가?	(라) O	(마) X

① (가)    ② (나)    ③ (다)    ④ (라)    ⑤ (마)

 

 

※ 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

아인슈타인의 특수 상대성이론은 그의 1905년 논문 속에 담겨 있다. 특수 상대성이론에서 주목할 만한 것은 시간 개념에 대한 발상의 전환이다. 관측 장소와 무관하게 흘러가는 뉴턴의 절대 시간이 부정되기 때문이다. 아인슈타인의 발상은 매우 단순했다. 시간이란 관측 장소에 좌우되는 특정 측정량에 대응된다. 언급된 논문의 도입부에 명시된 그의 동기를 들어보자.   “시간의 정의에서 나타나는 모든 어려움은 시간을 그저 손목시계의 측정량으로 대체시킬 때 극복되는 것 같다. 이러한 방식의 시간 정의는 우리가 시간을 전적으로 시계가 위치한 장소에 국한하여 다룰 때 별 문제를 일으키지 않는다. 그러나 그 방식의 시간 정의는 다른 장소 혹은 나의 시계로부터 떨어진 곳에서 발생한 사건들을 고려하는 경우 만족스럽지 못하다.”   동일한 관측 장소에 있는 사람들은 나의 시계 바늘이 지시하는 숫자를 가지고 시간을 말하게 된다. 동일한 관측 장소에서 시간은 나의 시계로 대체되어도 되지만, 다른 장소에 있는 시계에 대해서는 아니다. 아인슈타인은 다른 장소의 시계를 관측하기 위한 신호로 빛을 택했다. 빛의 속도가 항상 일정한 까닭에, 달리는 기차 안의 시계 바늘은 상대적으로 늦게 움직이는 것으로 관측된다. 이를 보기 위해 사고 실험을 해보자. 시간이란 그저 주기적 현상의 측정에 불과하기 때문에, 손목시계가 시간을 대표할 이유는 없다. 달리는 기차의 가속도에 의한 힘의 영향을 상쇄시킬 수 있는 무거운 진자를 용수철에 매달았다고 가정하자. 용수철의 진폭이 일정하게 유지되도록 전기를 공급하자. 이러한 식으로 고안된 진자시계가 내가 있는 관측 장소와 달리는 기차 안에 설치되어 있다고 가정하자. 나는 기차 안의 진자시계를 관찰한다.   <그림>   내 눈에 들어오는 진자의 주기적인 진폭 운동은 어떻게 나타날까? 기차 안에서 그 운동은 수직 운동이지만, 내 눈에는 그 수직 운동과 기차의 수평 운동을 합한 대각선 방향의 진폭 운동으로 나타나게 된다. 내 눈에 일정한 속도로 들어오는 빛들은 그 현상을 전달한다. 직각 삼각형의 대변이 가장 길다는 사실로부터 기차 안의 시계는 나의 시계보다 늦게 측정된다. 시간이 실재하는 것이 아니라 측정량에 불과하다면, 기차 안의 시간이 상대적으로 늦게 흘러간다고 말해야 한다.   <그림>이 암시하듯이, 피타고라스 정리가 특수 상대성이론을 얻어 내는 데 중요한 역할을 했다. 하지만 시간에 대한 그의 발상의 전환은 세계관의 변화를 가져왔다. 시간의 흐름이 관측 장소와 무관하다는 고전 역학의 틀이 깨진 것이다. 고전 역학에서 운동 에너지가 운동량의 시간 적분으로 나타남을 기억 할 때 운동 에너지도 더 이상 시간과 무관할 수 없다. 고전 역학의 운동 에너지 방정식이 질량을 기본 항으로 포함하고 있기 때문에, 질량과 에너지 또한 무관할 수 없다. 운동 중에 질량이 보존된다는 뉴턴의 질량 보존 조건은 특수 상대성이론에 의해 깨어진다. 물체가 빨라진다는 것은 외부로부터 에너지 공급이 있었음을 말하고, 그 공급된 만큼의 에너지는 질량의 증가로 표현된다. 질량은 에너지와 등가이다. 정지 물체의 질량 또한 운동 중에 활성화될 수 있는 일종의 잠재 에너지로 보아야 한다. 이를 보여주는 방정식이 유명한 다음 공식이다.   • E=moc2 (E는 에너지, mo는 정지 혹은 외부로부터 영향을 받지 않은 질량 그리고 c는 빛의 속도를 의미한다.)   물체가 활동하기 위해 미리 전제된 실체로서의 고정된 시간과 같은 것은 없다. 시간은 주기적 현상의 측정량일 뿐이고, 그 양은 관측 장소에 따라 다르게 나타난다.

 

4. <보기> 중 윗글에서 추론 불가능한 것은?

 

<보기>

(가) 태양의 주기적 운동도 시계로 사용될 수 있다. (나) 아인슈타인은 에너지와 물질이 동일한 것임을 증명했다. (다) 운동 중 질량 보존 조건이 성립하지 않는 이유는 운동 에너지와 시간 사이에 독립적 관계가 성립하지 않기 때문이다. (라) <그림>과 관련된 사고 실험에서 진자시계를 손목시계로 대체시킨다면, 사고 실험의 결과는 달라진다.

 

① (가), (나)    ② (가), (라)    ③ (나), (라)    ④ (다), (라)    ⑤ (나), (다), (라)

   

5. <그림>에 해당하는 것을 직접 그려 본다면?

   

 

6. 아인슈타인의 특수 상대성이론에서 시공간을 사차원으로 표시할 때 시간축에 해당하는 ‘시간의 실재성’이 가정될 필요가 없음을 150자 내외로 설명해 본다면? (제시문의 내용에만 국한하여 설명하라.)

 

 

 

※ 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

아인슈타인 하면 떠오르는 것이 사차원 시공간 개념이다. 하지만 특수 상대성이론에서는 사차원 시공간이 등장하지 않는다. 특수 상대성이론을 사차원 시공간의 수학적 개념을 통해 정식화시키고자 했던 사람은 아인슈타인이 아니라 민코프스키(H. Minkowski)였다. 1905년 당시 아인슈타인에게 있어서 중요한 수학적 도구는 추상적인 시공간 차원을 다루는 기하학이 아니라 피타고라스 정리였다. 민코프스키의 제안을 받아들이지 않았던 아인슈타인은 일반 상대성이론을 건설할 시점에 이르러 사차원 시공간 개념을 수용했다.   많은 사람들이 생각하는 것처럼 일반 상대성이론은 특수 상대성이론의 단순한 확장이 아니다. 특수 상대성이론에서 시간은 관측 장소에 좌우되는 주기적 현상의 측정량에 불과했다. 그러한 측정량은 관측 장소 혹은 관측자에 좌우된다. 민코프스키의 사차원 시공간 개념을 실재론적으로 해석하면, 상황은 달라진다. 시간의 측정량에 대응하는 사차원 시공간 속의 간격(intervals)이 있어야 한다. 시간은 시계에 의해 측정되지만, 그 측정량에 대응하는 사차원의 시공간 속 간격은 아니다. 그 간격은 측정을 근거로 하여 이론적으로 계산된다. 관측 장소에 좌우되는 시간의 측정량은 관측자와 무관한 사차원 시공간 속의 객관적인 간격에 의해 설명되게 되는 것이다.   일반 상대성이론에서 시공간은 관측 장소나 관측자와 무관하게 객관적으로 존재하는 구조이다. 일반 상대성이론에서 사차원 시공간을 표현하는 리만 기하학(Riemann geometry)의 추상적인 구조는 더 이상 현상을 설명하기 위한 도구로 여겨지지 않는다. 물질의 운동을 위해 시공간의 기하학적 구조가 실재하는 것으로 전제되어야 한다는 점에서 뉴턴과 후기 아인슈타인은 크게 다르지 않다. 다만 일반 상대성이론의 사차원 시공간은 뉴턴이 생각했던 것처럼 고정된 것도, 각각 독립된 차원들로 구성된 것도 아니었다.   뉴턴에 의하면 시공간은 신에 의해 가장 먼저 창조된 것이다. 물질의 운동을 위한 고정된 장소가 시공간이다. 운동은 물질로 구성된 물체의 장소 이동에 지나지 않는다. 그렇기 때문에, 속도는 그저 시간당 거리의 변화율로 표현된다. 이렇게 표현되기 위해서는 시간과 공간은 서로 독립적으로 존재해야 한다. 일반 상대성이론에 의하면 시간과 공간은 서로 독립적이지 않다. 운동 중 물질의 질량은 시공간에 영향을 미친다. 물체의 질량이 무거울수록 물체는 주위 시공간을 왜곡시킨다. 실재로서의 시공간의 구조는 역으로 물체의 운동에 영향을 미친다. 태양 질량에 의해 왜곡된 시공간의 곡률을 따라 빛이 운동하기 때문에, 그 운동 경로는 휘어져 관측된다.

 

7. <보기> 중 윗글에 함축되어 있지 않는 것을 모두 고른다면?

 

<보기>

(가) 일반 상대성이론이 옳다면, 사차원 시공간 개념은 단순히 현실세계의 문제를 설명하기 위한 수학적 도구가 아니다. (나) 아인슈타인이 민코프스키의 제안을 받아들이지 않았다는 사실은 그의 보수적 성향을 보여준다. (다) 물질의 운동을 위해 시공간의 객관적 구조가 전제되어야 한다고 생각한 인물은 아인슈타인이 처음은 아니었다.

 

① (가)    ② (나)    ③ (다)    ④ (가), (나)    ⑤ (나), (다)

   

8. 특수 상대성이론과 일반 상대성이론 사이에서 발견되는 공통점과 차이점에 대해 설명해 본다면?