GCTC 패턴 변형 훈련(좌표계 상의 대칭)

* 다음 자료를 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금한다.

수학이란 무엇인가? 이에 대해 모두가 동의할 수 있는 답은 없다고 해도 과언은 아니다. 하지만 수학이 실재하거나 혹은 가상의 패턴들을 다룬다는 사실에 이의를 제기할 사람은 거의 없다. 전문가로서의 수학자는 다양한 특정 패턴들에 공통된 어떤 규칙성을 찾고 이를 정리로 증명하거나 특정 패턴들의 적용 범위를 정리로 증명한다. 반면에 중고등학교 수학 문제의 대부분은 ‘주어진 패턴을 좀 더 쉽게 다룰 수 있는 패턴으로 변형하여 문제를 해결하는 패턴 변형 기예’에 바탕을 두고 있다.

다음은 대교협 자료에서 발췌한 문제이다. (두 점 A와 B를 연결한 선분의 길이는 AB로 나타냈다. AB 위에 선이 있어야 하는데, html 언어 구성의 문제로 표현되지 않았음에 주의하자.) 

[문제] x축, y축 위를 움직이는 점 P, Q가 있다. 좌표평면 위의 두 점 A(8,2), B(4,3)에 대하여 AP+PQ+QB의 최솟값을 구하시오.

1. P, Q는 각각 x, y 축 위를 움직이는 유동점이다. P1<P2, Q1<Q2를 이용해 AP+PQ+QB의 패턴을 시각화해 본다면?

2. x축을 기준으로 한 A의 대칭점 A'는 (8, -2), 그리고 y축을 기준으로 한 B의 대칭점 B'는 (-4, 3)이다. P1<P2, Q1<Q2를 이용해 A‘P+PQ+QB’의 패턴을 시각화해 본다면?

3. AP+PQ+QB가 최솟값을 갖는 경우는 A‘P+PQ+QB’가 최솟값을 갖는 경우이다. 그러한 경우, P, Q는 선분 (        ) 위에 있게 된다.

4. 다음 문제 해결 과정에서 <나의 그림>을 채워 본다면?

(i) x축을 기준으로 한 A의 대칭점 A'는 (8, -2), 그리고 y축을 기준으로 한 B의 대칭점 B'는 (-4, 3)이다. 이때 AP=A‘P, QB=QB'가 성립한다.

(ii) (AP=A‘P&QB=QB')⇒AP+PQ+QB=A‘P+PQ+QB’≥A'B'

(iii) A‘P+PQ+QB’가 최솟값을 갖는 경우는 P, Q가 A'B'위에 있는 경우이므로, AP+PQ+QB의 최솟값은 A'B'이다.

(iv) 이때 좌표계 상에서 다음의 직각삼각형을 얻을 수 있다.

<나의 그림>

(v) 피타고라스 정리를 이용해 위 직각삼각형의 대변인 A'B'의 길이를 구하면 된다.