GCTC 패턴 변형 훈련(원 상의 대칭)

* 다음 자료를 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금한다.

 

다음은 대교협 자료에서 발췌한 문제이다.

 

[문제] 반지름의 길이가 10인 원 O에서 원 위의 두 점 P, Q에 대하여 ∠POQ=60도 이다. 호 PQ 위의 고정된 점 A, 선분 OP 위의 임의의 점 B, 선분 OQ 위의 임의의 점 C에 대하여 삼각형 △ABC의 둘레 길이의 최솟값을 구하시오. (P와 Q는 원 상에서 A와 대칭을 이룬다고 가정하라.)

 

6. 선분 OP 위의 임의의 점 B, B', 그리고 선분 OQ 위의 임의의 점 C, C'를 가정하여 삼각형 △ABC의 변화 패턴을 시각화해 본다면?

 

  

7. 선분 OQ를 기준으로 한 A의 대칭점을 A', 그리고 선분 OP를 기준으로 한 A의 대칭점을 A''라고 하자. 이때 [물음 6]의 패턴은 어떤 식으로 바뀌는가? 이를 시각화해 보자.

  

 

8. △ABC의 둘레 길이 AC+CB+BA는 (           )와 동일하며, 이때 그 둘레 길이가 최솟값을 갖는 경우는 C와 B가 선분 (       ) 위에 있는 경우이다.

   

9. 다음 문제 해결 과정에서 <나의 그림>을 채워 본다면?

(i) 선분 OQ를 기준으로 한 A의 대칭점을 A', 그리고 선분 OP를 기준으로 한 A의 대칭점을 A''라고 하자.

(ii) AC=A‘C & BA=BA’‘ ⇒ △ABC의 둘레 길이 AC+CB+BA=A‘C+CB+BA’‘≥A'A''

(iii) △ABC의 둘레 길이가 최솟값을 갖는 경우는 ‘A‘C+CB+BA’‘=A'A''’이며, P와 Q는 선분 A'A''의 위에 위치하게 된다.

(iv) 이때 ∠A'OA''가 120도인 다음의 이등변 삼각형을 얻게 된다.

   

<나의 그림>

  

(v) 피타고라스 정리나 코사인 법칙을 이용해 위 삼각형의 대변 A'A''의 길이를 구하면 된다.

 

10. [물음 4]에서 (v)의 A'A''의 길이는?