2015년 고대 인문 수리논술 해제

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* 고려대학교 2015년 인문계 모의논술 수리편 해제

 

(가)

10명의 시민들로 구성된 사회가 있고, 각 시민들에게는 {1, 2, ..., 9, 10}의 번호가 부여되어 있다. 시민들은 스마트 폰의 메신저 앱을 사용하여 대화하기를 좋아한다. 시중에 는 A와 B 두 종류의 메신저 앱이 있고, 시민들은 이 중 하나를 골라 사용한다. 메신저 앱을 통한 대화는 동일한 앱을 사용하는 시민들 사이에서만 가능하다.

 

시민 x는 A를 사용할 때와 B를 사용할 때 다른 수준의 만족감을 느끼는 데, 그 만족감은 다음의 식과 같다.

 

A를 사용할 때 만족감 = 2x

B를 사용할 때 만족감 = 10-x

단, x=1,2, ... ,10이다.

 

예컨대, 시민 1이 A를 사용할 때 만족감은 2고, B를 사용할 때 만족감은 9다.

 

(나)

(가)에서 설명한 사용자의 만족감에 더하여 같은 앱을 사용하는 시민의 수가 많을수록 앱 사용으로부터 추가적인 편익이 발생한다. 만약, A의 사용자 수가 n이라면, A를 사용할 때 시민 x가 얻는 총편익은 2x+n이고 B를 사용할 때 시민 x가 얻는 총편익은 10-x+(10-n)이다.

 

(다)

기술적인 문제로 인해 메신저 앱 B가 사라지고 모든 시민이 A를 사용하고 있다. 기술 혁신으로 사용자의 만족감이 개선된 메신저 앱 C가 출시되었다. 시민 x가 C를 사용할 때의 만족감은 2x+5이다.

 

1. 만약 시민들이 (가)에 나타난 사용 만족감만을 고려하여 메신저 앱 서비스를 고른다면, 몇 명의 시민들이 A를 쓸 것인가?

 

2. 이제 시민들은 (나)에서처럼 총편익을 고려하여 그들이 사용할 앱을 고른다. 각 앱의 사용자가 위 1에서 구해진 결과와 같을 때 현재 사용하는 앱을 다른 앱으로 교체하고자 하는 시민이 있겠는가? (단 시민들이 앱을 선택할 때 고려하는 앱의 사용자 수는 자신의 선택에 의해 영향 받지 않는 기존의 사용자 수이다.) 이 경우 10명의 시민 모두가 A를 사용하는 것이 가능한가?

 

3. 모두가 C를 사용하는 것이 모두가 A를 사용하는 것보다 시민의 총편익을 더 크게 한다는 것을 보이시오. 그럼에도 (다)의 상황에서는 A에서 C로 전환할 시민이 없다는 것을 보이시오. 이러한 결과를 간략히 해석하시오.

 

 

1. 해제

x 순번 사람이 만족감만 고려해 A보다 B를 선호하는 경우는 ‘2x>10-x’를 만족하는 경우이다. ‘x>3.33’이므로 4~10 순번의 7명이 A를 고를 것이다. 이를 도표로 나타내면 다음과 같다.

 

순번	A에 대한 만족감 2x	B에 대한 만족감 10-x
1	2	9
2	4	8
3	6	7
4	8	6
..........	....................	....................
10	20	0

* 주의: 도표가 아니라 좌표축에 그래프로 나타내는 경우 x축에 ‘순번’을, y축에 ‘만족감’을 명시할 것!

 

 

2. 해제

(나)에서 ‘총편익=만족감+추가 편익’임을 알 수 있다. (가)에서 A를 고른 사람들은 총 7명이므로 n은 7이다. (나)의 조건에 따라 A를 고른 사람들의 총편익과 B를 고른 사람들의 총편익을 도표로 나타내면 다음과 같다.

 

순번	A에 대한 총편익 2x+n	B에 대한 총편익 10-x+(10-n)
1	9	12
2	11	11
3	13	10
4	15	9
..........	....................	....................
10	27	3

 

동일 앱 사용에 따른 추가 편익을 고려한 경우의 위 도표를 보면, 순번 3의 사람은 이제 B대신 A를 고를 것이다. 순번 3의 사람이 A에서 B로 갈아타는 선택으로 기존 사용자의 앱 선호방식은 아무런 영향을 받지 않는다. 따라서 A를 고른 사람들은 총 8명으로 늘어난다. ‘n=8’에 대해 위와 같은 도표를 그려 보면, 순번 2의 사람의 A에 대한 총편익은 12, 그리고 B에 대한 총편익은 10이다. 따라서 순번 2의 사람은 B대신 A를 고를 것이다. 이제 A를 고른 사람들은 총 9명으로 늘어났다. ‘n=9’에 대해 위와 같은 도표를 그려 보면. 모든 순번의 사람들이 A를 고르게 될 것임을 알 수 있다.

 

 

3. 해제

(나)의 조건을 보면, ‘A 사용에 따른 추가 편익(n) + B 사용에 따른 추가 편익(10-n)=10’임을 알 수 있다. 이는 A 사용에 따른 추가 편익은 ‘A 사용자 수’임을, 그리고 B 사용에 따른 추가 편익은 ‘B 사용자 수’임을 뜻한다. B가 사라진 상태에서 이러한 결과가 A와 C에 대해서도 성립한다고 추정하는 경우, 모두 C만 사용하는 경우의 추가 편익은 10이며, 모두 A만 사용하는 경우의 추가 편익 역시 10이다. 이 두 가지 경우는 동시에 성립할 수 없다. 모두 C만 사용하는 경우는 A를 사용하는 사람이 아무도 없는 경우이며, 모두 A만 사용하는 경우는 C를 사용하는 사람이 아무도 없는 경우이기 때문이다. 이때 각 순번 사람에 대한 총편익은 그의 만족감에 추가 편익을 더한 것이므로, 다음이 성립한다.

 

모두 C만 사용하는 시민의 총편익(∑(2x+5+10)) > 모두 A만 사용하는 시민의 총편익(∑(2x+10))

 

따라서 모두 C만 사용하는 경우에 대한 시민의 총편익이 모두 A만 사용하는 경우에 대한 시민의 총편익보다 크다. 그러나 그 두 경우는 양립 불가능하며, 현재 모든 사람은 A를 사용하고 있다. 이러한 상황에서는 C가 더 큰 만족감을 주더라도 C를 선택할 사람을 기대하기 힘들다. 만약 모든 순번의 사람들이 편익을 고려해 합리적 결정을 하는 사람들이라면, 아무도 C를 선택하지 않는다. 모두 A를 사용하는 현재 상황에서 C의 편익은 0이기 때문이다. 만약 어떤 x 혼자 이러한 상황에서 C를 선택한다면, 그의 총편익은 ‘2x+5+1’다. 이 총편익은 A를 사용하는 경우의 총편익 ‘2x+10’보다 작다. 따라서 모두 추가 편익을 고려하여 합리적 결정을 사용하는 사람들이라면, 전체에 더 유용한 C의 기술은 사회에서 채택되지 않는다.

 

 

  * 소수 학생들을 위해 몇몇 문제들은 해제를 만들어 어쩔 수 없이 따라쓰기 시키는데, 결코 좋은 방법은 아니다. 현행 입시 수준이이런 게 먹히니 어쩌리... 이런 데 시간을 소모해야 할 수밖에 없는 나 자신도 비참해 보이고 .... 올해 입시 자료는 이것을 마지막으로 올리고, 블로그 모양새를 좀 유지하자.