Math. WOISB 나머지 정리

 

 

Math. WOISB(Which one Is Better?)

 

수학 문제를 많이 풀어 보았는데도, 왜 비슷한 문제를 증명하지 못해 수리 논술에서 애를 먹는 것일까? 한 마디로 객관식 문제들만 대충 풀어 보았기 때문이다. 주어진 문제를 좀 더 정교하게 풀어 보아야 한다. 그래야 단계가 높아질수록 쉬워지고 실수를 하지 않게 된다. 또한 동시에 수리 논술에 대비하는 것이기도 하다.

 

[퀴즈] 다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나눈 나머지를 r(x)라고 할 때, 2f(x)+2g(x)+r(x)를 g(x)로 나눈 나머지는?

 

<첫 번째 풀이>

f(x)=g(x)Q(x)+r(x)

2f(x)+2g(x)+r(x)=2(g(x)Q(x)+r(x))+2g(x)+r(x)

=g(x)(2Q(x)+2)+3r(x)

 

따라서 답은 3r(x)

 

 

<두 번째 풀이>

f(x)=g(x)Q(x)+r(x)

2f(x)+2g(x)+r(x)=g(x)Q′(x)+r′(x) (r′(x)의 차수<g(x)의 차수)

2f(x)+2g(x)+r(x)=2(g(x)Q(x)+r(x))+2g(x)+r(x)

=g(x)(2Q(x)+2)+3r(x)

 

따라서 Q′(x)=2(Q(x)+1)이고, r′(x)=3r(x).

나머지는 3r(x).

 

 

 

[변형 문제] 다항식 f(x)를 x-1로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R이라고 할 때, xf(x)+2를 x-1로 나눈 몫과 나머지는?

 

f(x)=(x-1)Q(x)+R (나머지의 차수는 나누는 다항식의 차수보다 작아야 하므로 R은 상수)

xf(x)+2=(x-1)Q′(x)+R′ (R′ 역시 상수)

xf(x)+2=x((x-1)Q(x)+R)+2

=(x-1)xQ(x)+Rx+2

=(x-1)xQ(x)+Rx-R+R+2

=(x-1)xQ(x)+(x-1)R+R+2

=(x-1)(xQ(x)+R)+(R+2)

 

따라서 몫 Q′(x)=(xQ(x)+R)이고, 나머지 R′= R+2.