* 다음 사고훈련은 7개월 이상 훈련을 받은 아이들을 대상으로 만들어진 베이비 로직의 일부 입니다. 여기서의 술어 논리는 수리 논리학의 엄격한 술어 논리 체계보다는 '추상적인 기호 조작 능력 강화'에 초점이 맞춰져 설계된 것입니다. 그런 체계는 어차피 논증론을 배운 후 익히게 될 것이며, 그때 지금 아이들이 술어 논리와 정언명제 논리 사이의 미묘한 긴장감, 우리말 적용에서 나타는 어려운 문제, 부분 부정의 문제, 실제 추론과의 차이 등에 대해 생각해 보게 될 것이며, 우선은 술어 논리를 빌려 추상적인 기호 조작 능력을 강화시켜주는 것이 목적!
술어 논리와 양화
내용을 무시하고 진리치의 변환 및 결합 방식만을 고려한 상태에서 동어 반복 및 모순 형이 무엇인지 알아보았습니다. 이때 진술 변수에 들어갈 진술들은 사건 발생 유무 및 사실 존재 유무에 의해 그 참, 거짓이 결정되는 것들로 국한되었습니다. 여기서는 진술의 구성 방식을 살펴보고, 이를 통해 ‘술어(predicate)’가 무엇인지 알아볼 것입니다.
단순 진술의 보기로 다음과 같은 것들을 들 수 있습니다.
• 피도는 개다.
• 영이는 학교에 간다.
두 단순 진술의 논리적 주어는 ‘피도’와 ‘영이’입니다. 이렇듯, 단순 진술의 논리적 주어는 구체적인 대상을 지칭하는 이름이나 표현들이 됩니다.
위 두 진술의 논리적 술어는 ‘... 개다’, ‘... 학교에 간다’입니다. 논리적 술어는 주어를 제외한 나머지 모든 부분을 일컫습니다. 술어 ‘... 개다’를 ‘개(x)’, 그리고 ‘... 학교에 간다’를 ‘학교(x)’라고 표현해 봅시다. 이때 두 술어 ‘개(x)’와 ‘학교(x)’는 ‘x’에 들어갈 대상이 정해지지 않았기 때문에, 참 또는 거짓 판단의 대상이 될 수 없습니다. 그래서 어떤 이들은 술어를 ‘불완전한 진술’ 혹은 ‘열린 진술’이라고 합니다.
개(x)에 ‘피도’를 집어넣으면, ‘개(피도)’라는 단순 진술이 얻어집니다. 모든 단순 진술은 참 거짓 판단의 대상이 됩니다. 이러한 의미에서 ‘개(피도)’는 참 또는 거짓이라고 합니다. 정말 피도가 개이면, 개(피도)는 참으로 판단되는 것입니다.
[물음 1] ‘학교(철수)’를 우리말로 풀어 보면?
[물음 2] ‘학교(철수)’가 참인 경우는?
[물음 3] 다음 진술들을 개(피도), 학교(영이)처럼 바꾸어 본다면?
(1) 말자는 말이 아니다. (‘... 말이다’라는 술어를 ‘말(x)’라고 하자.)
(2) 깜식이는 학교에서 잠을 잔다.
(3) 똥풍뎅은 풍뎅이도, 똥도 아니다.
(4) 슈퍼맨은 바지를 바깥에 입고, 날아다닌다.
(5) 영이는 여자이다.
(6) 김 선생은 학생을 잘 가르치거나, 잘 가르치지 못한다.
(7) 철수는 밥을 먹으면, 항상 트림을 한다.
[물음 4] [물음 3]에서 단순 진술로 볼 수 있는 것들은?
[물음 5] 우리가 살펴본 논리적 연결사들의 규정 방식에 따를 때 [물음 3]에서 ‘경험과 무관하게 참으로 판단되는 것’은?
‘x, y, z, ...’를 ‘대상 변수’라고 합시다. ‘x, y, z, ...’에는 특정 대상들을 지칭하는 이름이나 표현 등이 들어가게 됩니다. ‘F(x), G(x), H(x), ...’를 ‘술어 변수’라고 합시다. 이때 생각해 볼 수 있는 술어 형식들은 다음과 같습니다.
• F(x), F(y), F(z), ..., G(x), G(y), G(z), ..., ...
술어 형식 F(x)에는 특정 술어가 들어가게 됩니다. ‘... 개다’와 같은 것이 들어가게 되는 것입니다. 진술 변수 P의 경우, Q∨R과 같은 것을 집어넣어도 됩니다. 그런데 F(x)에 G(x)∨H(z)와 같은 것을 집어넣어서는 안 됩니다. 왜냐하면 G(x)∨H(z)는 술어가 아니기 때문입니다.
위에서 살펴본 술어 형식들을 다루는 논리를 ‘술어 논리(predicate logic)’이라고 합니다. 그렇다면 술어 논리가 필요한 이유는 무엇일까요? 이를 알기 위해 다음 진술을 살펴봅시다.
(1) 실제 존재하는 모든 대상들을 ‘a1, a2, a3, ..., an’이라고 할 때 ‘시공간(a1)∧시공간(a2)∧ ... ∧시공간(an)’라는 복합 진술을 생각해 볼 수 있다. (여기서 ‘시공간(x)’는 ‘... 시공적 크기를 갖고 있다’를 뜻합니다.)
‘a1, a2, a3, ..., an’은 대상 변수들이 아니라 ‘피도’, ‘땡칠이’, ‘나의 의자’와 같이 대상들을 지칭하는 표현들입니다. 이때 (1)은 다음과 동일한 의미를 갖고 있는 것으로 여겨집니다.
(2) 임의의 x에 대해, 시공간적 크기(x).
(2)는 (1)을 줄인 것이라 할 수 있습니다. (2)는 우리의 경험에 비추어 볼 때 참이라고 할 수 있습니다. 시공간적 크기를 갖고 있지 않은 대상은 존재하지 않는다고 여겨지기 때문입니다.
논리학자들은 (2)를 다음과 같이 표현합니다.
(3) ∀x시공간(x)
(3)에서 ‘∀x’는 (2)의 ‘임의의 x에 대해’에 해당합니다. ‘∀’를 ‘전체 양화사’라고 합니다. 다루어야 할 대상들이 정해지면, ‘∀x’는 그 대상들 모두를 지칭하기 때문입니다. ‘∀’와 같은 양화사를 다루기 위해서는 술어 형식이 필요합니다.
[물음 6] <보기> 중 ‘∀x시공간(x)’에서 발견할 수 있는 술어 형식은?
<보기>
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(가) ∀xF(x) (나) ∀yG(y) (다) ∀yG(z) |
① (가) ② (나) ③ (다) ④ (가), (나) ⑤ (나), (다)
[물음 7] 대상 변수에 이 세상에 존재하는 모든 대상들이 들어간다고 할 때, ‘∀x개(x)’가 경험에 비추어 참이 될 수 없는 이유를 설명해 본다면?
[물음 8] 영이와 철이만 존재하는 가상의 세계를 생각해 봅시다. 물론 영이와 철이가 짝짓기를 하여 아이를 낳을 수 있는 가능성도 배제해야 하겠죠. 영이와 철이 두 사람만 존재하는 가상의 세계에는 다른 대상도 존재하지 않는다고 합시다. 이러한 가정을 받아들이고 다음 문제들을 풀어 봅시다.
(1) ‘∀x사람(x)’의 진리표를 그려 본다면?
(2) ‘∀x(사람(x)→동물(x))’는 무엇을 줄인 것으로 볼 수 있습니까?
(3) 위 문제 (1)의 진술은 가상의 세계에서는 참이지만 현실 세계에서는 참이 아닌 이유는?
(4) ‘∀x사람(x)∧∀x동물(x)’는 무엇을 줄인 것으로 볼 수 있습니까?
(5) ‘∀x(사람(x)∧동물(x))’는 무엇을 줄인 것으로 볼 수 있습니까?
이제 우리는 앞에서 살펴본 술어 형식들과 전체 양화사 ∀를 이용해 다음과 같은 진술 형식들을 얻을 수 있습니다.
• ∀xF(x), ∀y￢G(y), ∀x(F(x)∨G(y)), ∀x(F(x)→G(x)), ∀x∀y(F(x)∨￢G(y)), ...
∀xF(x)와 ∀x(F(x)∨G(y))에서 어떤 차이를 발견할 수 있습니까? ∀xF(x)의 경우, 대상 변수 x는 전체 양화사 ∀에 의해 한정되어 있습니다. 반면에 ∀x(F(x)∨G(y))의 경우, y는 그렇게 한정되어 있지 않습니다.
술어의 대상 변수들이 모두 한정되어 있는 형식을 ‘닫힌 형식’, 그리고 그렇게 한정되어 있지 않은 형식을 ‘열린 형식’이라고 합니다. 술어 변수에 실제 술어를 집어넣는 경우, 닫힌 형식만이 참 거짓 판단 가능한 진술들을 만들어낼 수 있습니다.
[물음 9] ∀x(개(x)∧꼬리(x))와 ∀x(개(x)∧꼬리(y))의 차이는? (대상 변수가 전체 양화사 ∀에 의해 한정되어 있는지를 고려하라.)
[물음 10] ∀x(개(x)∧꼬리(x))는 우리의 경험에 비추어 참인가?
[물음 11] 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려할 때, ‘(F(a1)∧G(a1))∧(F(a2)∧G(a2))∧ ... ∧(F(an)∧G(an))’을 다른 방식으로 표현해 본다면?
양화사에는 전체 양화사 ‘∀’ 이외에도 존재 양화사 ‘∃’가 있습니다. 다음 진술을 살펴봅시다.
• 어떤 x에 대해, x는 개다. (개인 어떤 x가 존재한다. 일부 x는 개다.)
논리학자들은 위 진술을 다음과 같이 표현합니다.
• ∃x개(x)
‘∃x개(x)’를 일반화하면, ‘∃xF(x)’와 같은 형식을 얻을 수 있습니다. 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려할 때 ‘∃xF(x)’는 다음을 줄인 것으로 여겨집니다.
• F(a1)∨F(a2)∨ ... ∨F(an)
[물음 12] <보기> 중 닫힌 형식을 모두 고른다면?
<보기>
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(가) ∃x∀y(F(x)→(G(y)∧H(z))) (나) ∃x∀y∃z(F(x)(G(y)∨H(z))) (다) ∀x∃y((F(x)→G(y))→(H(x)∧I(z))) |
① (가) ② (나) ③ (다) ④ (가), (나) ⑤ (나), (다)
[물음 13] 영이와 철이만 존재하는 가상의 세계를 생각해 봅시다. 물론 영이와 철이가 짝짓기를 하여 아이를 낳을 수 있는 가능성도 배제해야 하겠죠. 영이와 철이 두 사람만 존재하는 가상의 세계에는 다른 대상도 존재하지 않는다고 합시다. 이러한 가정을 받아들이고 다음 문제들을 풀어 봅시다.
(1) ∃x사람(x)의 진리표를 그려 본다면?
(2) ∃x(사람(x)∨고독함(x))는 무엇을 줄인 것으로 볼 수 있습니까?
(3) ∀x∃y(사람(x)∧새침때기(y))는 무엇을 줄인 것으로 볼 수 있습니까?
(4) (2)의 진술을 우리말로 풀어 본다면?
‘∀xF(x)’ 형을 부정하면 무엇이 될까요? 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ‘∀xF(x)’ 형은 다음을 줄인 것과 같습니다.
• F(a1)∧F(a2)∧ ... ∧F(an)
따라서 위 형식을 부정하면 ‘∀xF(x)’ 형을 부정한 것을 얻을 수 있습니다.
[물음 14] 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ￢(F(a1)∧F(a2)∧ ... ∧F(an))은 무엇과 같습니까?
유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ‘∃xF(x)’는 다음을 줄인 것과 같음을 살펴보았습니다.
• F(a1)∨F(a2)∨ ... ∨F(an)
[물음 15] 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ‘∃xF(x)’를 부정하면 다음 형식이 얻어짐을 증명해 본다면? 즉 ‘￢∃xF(x)’는 다음과 같음을 증명해 본다면?
• ∀x￢F(x)
동어 반복 형은 진리표에서 항상 참인 결과만을 갖는 형식을 뜻합니다. 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, 다음 진술 형식은 동어 반복 형입니다.
• ∀xF(x)→F(ai)
위 형식이 동어 반복 형임을 증명해 봅시다.
1. 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ‘∀xF(x)→F(ai)’는 [F(a1)∧F(a2)∧ ... ∧F(an)]→F(ai)와 같다.
2. ‘∀xF(x)→F(ai)’가 동어 반복 형이 아니라면, [F(a1)∧F(a2)∧ ... ∧F(an)]이 T일 때 F(ai)가 F인 경우가 있어야 한다. 그러한 경우가 있다고 하자.
3. [F(a1)∧F(a2)∧ ... ∧F(an)]이 T라면, ∧의 정의에 의해 F(ai)는 T이어야 한다.
4. 3에 의해 F(ai)는 T이고, 2에 의해 F(ai)는 는 F이다.
5. 4와 같은 경우는 우리가 살펴본 논리적 연결사의 규정 방식을 따를 때 불가능하다.
6. 따라서 ‘∀xF(x)→F(ai)’는 동어 반복 형이다.
[물음 16] 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, 다음 형식이 동어 반복 형임을 증명해 본다면?
• F(ai)→∃xF(x)
‘임의의 x에 대해, ... ’ 혹은 ‘어떤 x에 대해, ... ’와 같은 표현 방식은 일상생활에서 자주 사용하는 것이 아닙니다. 양화와 관련하여 오히려 다음과 같은 진술을 자주 사용합니다.
• 모든 개는 꼬리를 가진 동물이다.
위 진술의 술어는 ‘꼬리(x)’(... 꼬리를 가진 동물이다)입니다. 그런데 주어부의 ‘개’는 특정 개가 아니라 ‘개’라고 불릴 수 있는 모든 동물을 뜻합니다. 술어 ‘꼬리(x)’의 대상 변수에는 ‘땡칠이’라 불리는 개와 같이 특정 개가 들어가야 하는 것이지, ‘모든 개’와 같은 것이 들어갈 수 없습니다. 그렇다면 ‘모든 개는 꼬리를 가진 동물이다’는 생각보다 복잡한 구성 방식을 갖고 있습니다. 그러한 구성 방식이 무엇인지를 놓고 오랜 논쟁이 있었습니다. 지금 일반적으로 인정되는 것은 다음과 같습니다.
• 임의의 x에 대해, x가 개라면 x는 꼬리를 가진 동물이다. (∀x(개(x)→꼬리(x)))
[물음 17] 다음 진술들을 술어 논리 방식으로 풀어 본다면?
(1) 모든 사람은 동물이다.
(2) 모든 귀족은 정치인이다.
(3) 모든 정치인은 사악하다.
(4) 모든 선생님은 게으른 사람이다.
(5) 모든 선생님은 게으른 사람이거나, 열심히 일하는 사람이다.
[물음 18] ‘P→Q’는 ‘￢P∨Q’와 논리적으로 동치 관계를 맺는 형식임을 살펴보았습니다. 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ∀x(F(x)→G(x))와 논리적 동치 관계를 맺는 것을 추측해 써본다면?
‘∀x(개(x)→꼬리(x))’를 일반화하면, ‘∀x(F(x)→G(x))’라는 형식을 얻을 수 있습니다. 이때 ‘∀x(F(x)→G(x))’라는 형식을 일상어로 풀면, 다음과 같습니다.
• 모든 F는 G이다.
유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, 위 진술 형식을 부정해 봅시다.
1. 모든 F는 G이다.
2. 1의 진술 형은 ‘∀x(F(x)→G(x))’와 같다.
3. ‘∀x(F(x)→G(x))’의 부정한 것은 ‘￢∀x(F(x)→G(x))’이다.
4. ‘￢∀x(F(x)→G(x))’은 ‘￢[(F(a1)→G(a1))∧(F(a2)→G(a2))∧ ... ∧(F(an)→G(an))]’과 다.
5. ‘￢[(F(a1)→G(a1))∧(F(a2)→G(a2))∧ ... ∧(F(an)→G(an))]’은 ‘￢[(￢F(a1)∨G(a1))∧(￢F(a2)∨G(a2))∧ ... ∧(￢F(an)∨G(an))]’과 같다.
6. ‘￢[(￢F(a1)∨G(a1))∧(￢F(a2)∨G(a2))∧ ... ∧(￢F(an)∨G(an))]’은 ‘￢(￢F(a1)∨G(a1))∨￢(￢F(a2)∨G(a2))∨ ... ∨￢(￢F(an)∨G(an))’과 같다.
7. ‘￢(￢F(a1)∨G(a1))∨￢(￢F(a2)∨G(a2))∨ ... ∨￢(￢F(an)∨G(an))’은 ‘(￢￢F(a1)∧￢G(a1))∨(￢￢F(a2)∧￢G(a2))∨ ... ∨(￢￢F(an)∧￢G(an))’과 같다.
8. ‘(￢￢F(a1)∧￢G(a1))∨(￢￢F(a2)∧￢G(a2))∨ ... ∨(￢￢F(an)∧￢G(an))’은 ‘(F(a1)∧￢G(a1))∨(F(a2)∧￢G(a2))∨ ... ∨(F(an)∧￢G(an))’과 같다.
9. ‘(F(a1)∧￢G(a1))∨(F(a2)∧￢G(a2))∨ ... ∨(F(an)∧￢G(an))’는 ‘∃x(F(x)∧￢G(x))’와 같다.
이제 우리는 다음 결론에 도달했습니다.
• ‘모든 F는 G이다’, 즉 ‘∀x(F(x)→G(x))’라는 형식의 부정은 ‘∃x(F(x)∧￢G(x))’입니다.
‘∃x(F(x)∧￢G(x))’를 읽는 방식은 다음과 같습니다.
• 어떤 F는 G가 아니다. (F(x)를 만족하지만 G(x)를 만족하지 않는 어떤 x가 있다.)
[물음 19] 다음 진술들을 우리말로 바꾸어 본다면?
(1) ∃x(개(x)∧￢꼬리(x))
(2) ∀x(오리너구리(x)→포유류(x))
(3) ∀x(포유류(x)→(젖먹이동물(x)∨육상동물(x)))
(4) ∃x(오리너구리(x)∧￢조류(x))
(5) ∃x(박쥐(x)∧꼬리(x))
[물음 20] [물음 19]의 진술들 중 우리의 경험에 비추어 참으로 판단되는 것은?
[물음 21] 다음 진술들을 부정해 보고, 그렇게 부정한 것을 술어 논리 형식을 빌려 표현해 본다면?
(1) 모든 개는 꼬리를 가진 동물이다.
(2) 어떤 사람은 귀족이 아니다.
(3) 모든 귀족은 싸가지 없는 사람이다.
(4) 어떤 박쥐는 날 수 있는 동물이 아니다.
(5) 모든 박쥐는 발톱을 가진 동물이다.
‘∀x(F(x)→G(x))’, 즉 ‘모든 F는 G이다’와 ‘∃x(F(x)∧￢G(x))’, 즉 ‘어떤 F는 G가 아니다’는 동어 반복 형이 아닙니다. 따라서 ‘모든 개는 꼬리를 가진 동물이다’, ‘어떤 개는 꼬리를 가진 동물이 아니다’ 모두 경험과 무관하게 참이거나 거짓인 진술들은 아닙니다. 그 진술들 모두 논리적 관점에서는 참 또는 거짓으로 가정할 수 있는 것들입니다.
‘모든 개는 꼬리를 가진 동물이다’를 참으로 여기는 이유는 우리의 경험에 비추어 ‘꼬리를 갖고 있지 않은 개’를 발견할 수 없기 때문입니다. 적어도 지금까지는 그렇습니다. 유전 공학이 발달한 지금, 꼬리 없는 개의 존재도 상상해 볼 수 있겠군요.
어쨌든 ‘모든 개는 꼬리를 가진 동물이다’를 참으로 가정하는 것은 집합론을 빌려 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
• {x|개(x)}≠∅, {x|꼬리(x)}≠∅
• {x|개(x)}⊂{x|꼬리(x)}
[물음 22] 다음을 그림으로 나타내 본다면?
• {x|개(x)}≠∅, {x|꼬리(x)}≠∅
• {x|개(x)}⊂{x|꼬리(x)}
‘어떤 사람은 흡연가이다’라는 진술을 참으로 가정하면, 다음을 얻을 수 있습니다.
• {x|흡연가(x)}≠∅, {x|사람(x)}≠∅
‘어떤 사람은 흡연가가 아니다’라는 진술은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
• {x|흡연가(x)}≠∅, {x|사람(x)}≠∅
[물음 22] 다음 각 진술을 집합론을 빌려 표현해 본다면?
(1) 모든 개는 꼬리를 가진 동물이다.
(2) 어떤 사람은 귀족이 아니다.
(3) 모든 귀족은 싸가지 없는 사람이다.
(4) 어떤 박쥐는 날 수 있는 동물이 아니다.
(5) 모든 박쥐는 발톱을 가진 동물이다.
‘어떤 사람은 흡연가이다’라는 진술을 부정해 봅시다. 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ‘어떤 사람은 흡연가이다’에 해당하는 ‘∃x(사람(x)∧흡연가(x))’를 부정한 것은 다음과 같습니다.
• ∀x(사람(x)→￢흡연가(x))
[물음 23] 유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려하는 경우, ‘∃x(사람(x)∧흡연가(x))’의 부정은 ‘∀x(사람(x)→￢흡연가(x))’임을 증명해 본다면?
‘어떤 사람은 흡연가이다’를 부정한 것은 ‘∀x(사람(x)→￢흡연가(x))’입니다. ‘∀x(사람(x)→￢흡연가(x))’는 다음과 같이 읽습니다.
• 그 어떤 사람도 흡연가가 아니다. (어떠한 사람도 흡연가가 아니다.)
왜 ‘모든 사람은 흡연가가 아니다’로 읽지 않는 것일까요? 우리말에서 ‘모든’은 부정 형 진술에서는 맥락에 따라 ‘어떤’을 뜻하기도 하기 때문입니다.
[물음 24] 다음 대화에서 ‘모든’은 정말 ‘모든 중국 한의사’를 뜻할까요?
철수: “중국 한의사들은 아편을 갖고 있다더라. 아편은 마약 아니니? 그러므로 모든 중국 한의사들은 아편쟁이라고 봐야 해.”
영이: “설마? 아편쟁이 중 물론 중국 한의사들이 있겠지. 그러나 모든 중국 한의사가 아편을 피지는 않을 것이야.”
‘어떤 사람은 흡연가이다’, 즉 ‘∃x(사람(x)∧흡연가(x))’를 부정하면, ‘그 어떤 사람도 흡연가가 아니다’, 즉 ‘∀x(사람(x)→￢흡연가(x))’가 나옵니다. 이를 일반화하면, 다음과 같습니다.
• ‘어떤 F는 G이다’, 즉 ‘∃x(F(x)∧G(x))’를 부정한 것은 ‘그 어떤 F도 G가 아니다’, 즉 ‘∀x(F(x)→￢G(x))’이다.
‘그 어떤 F도 G가 아니다’를 집합론을 빌려 표현하면 다음과 같습니다.
• {x|F(x)}≠∅, {x|G(x)}≠∅
• {x|F(x)}∩{x|G(x)}=∅
[물음 25] 다음을 그림으로 나타내 본다면?
• {x|F(x)}≠∅, {x|G(x)}≠∅
• {x|F(x)}∩{x|G(x)}=∅
역으로 ‘그 어떤 F도 G가 아니다’를 부정한 것은 ‘어떤 F는 G이다’입니다. 이를 집합론을 빌려 표현하면 다음과 같습니다.
• {x|F(x)}≠∅, {x|G(x)}≠∅
• {x|F(x)}∩{x|G(x)}≠∅
[물음 26] 다음 진술들을 부정해 봅시다.
(1) 어떤 사람은 밥맛이다.
(2) 그 어떤 다람쥐도 날개를 가진 동물이 아니다.
(3) 귀인 중학교의 어떤 선생님은 학생을 무시하는 사람이다.
(4) 학생을 무시하는 그 어떤 선생님도 훌륭한 선생님이 아니다.
(5) 모든 연필은 나무로 만든 것이다.
모순 형은 진리표에서 항상 거짓 결과만을 갖는 형식입니다. 대표적인 모순 형으로 ‘P∧￢P’를 들 수 있습니다. ‘P∧￢P’가 모순 형임은 진리표를 그려 보면 금방 알 수 있습니다.
[물음 27] ‘P∧￢P’가 모순 형임을 진리표를 그려 증명하라.
‘P∧￢P’를 자세히 살펴보면, P와 그 부정인 ￢P가 연접되어 있습니다. 따라서 ‘모든 F는 G이다’와 ‘어떤 F는 G가 아니다’를 연접한 것은 모순 형식이라고 추측해 볼 수 있습니다.
유한개의 대상 ‘a1, a2, a3, ..., an’만을 고려합시다.
1. ‘모든 F는 G이다’는 ‘∀x(F(x)→G(x))’와 같다. 그리고 ‘어떤 F는 G가 아니다’는 ‘∃(F(x)∧￢G(x))’와 같다. 따라서 그 둘을 연접한 것은 ‘( A )’와 같다.
2. ‘( A )’가 모순 형식이 아니라고 해보자. 이때 ‘∀x(F(x)→G(x))’와 ‘∃(F(x)∧￢G(x))’ 모두 T인 경우가 있어야 한다.
3. ‘∀x(F(x)→G(x))’는 ( B )를 줄인 것이고, ‘∃(F(x)∧￢G(x))’는 ( C )를 줄인 것이다.
4. ‘∃(F(x)∧￢G(x))’가 T이므로 ‘F(ai)∧￢G(ai)’가 T인 그러한 ai가 적어도 하나는 존재해야 한다. 이때 F(ai)는 T이고, G(ai)는 ( D )이어야 한다.
5 F(ai)는 T이고, G(ai)는 ( D )이면, ‘F(ai)→G(ai)’는 F이다. ‘F(ai)→G(ai)’가 F이면, ( B )도 F이고, 따라서 ‘∀x(F(x)→G(x))’도 F이다.
6. 2에 의해 ‘∀x(F(x)→G(x))’는 T이지만, 5에 의해 또한 F이다.
7. 6과 같은 경우는 불가능하다.
8. 따라서 ‘모든 F는 G이고, 어떤 F는 G가 아니다’는 모순 형식이다.
[물음 28] 위의 증명에서 빈 칸 (A)~(D)를 채워 본다면?
(A)
(B)
(C)
(D)
‘∀x(F(x)→G(x))∧∃(F(x)∧￢G(x))’가 모순 형임은 집합론을 빌려 보일 수도 있습니다. 이를 위해 먼저 ‘모순 관계’가 무엇인지 알아봅시다.
• P와 Q가 모순 관계를 맺는 경우, P가 참이면 Q는 거짓이고, Q가 참이면 P는 거짓이다. 역으로 P가 거짓이면 Q는 참이고, Q가 거짓이면 P는 참이다. 즉, P와 Q가 모순 관계를 맺는 경우는 그 둘이 동시에 동일한 진리치를 가질 수 없는 경우이다.
위에서 서술된 모순 관계를 맺는 대표적인 두 진술 형식은 바로 P와 ￢P입니다. ‘P∧￢P’는 모순 형식입니다.
‘∀x(F(x)→G(x))’이 참이면, 다음 (1)이 성립합니다.
(1) {x|F(x)}≠∅, {x|G(x)}≠∅이고, {x|F(x)}⊂{x|G(x)}이다.
(1)이 성립하는 경우, 다음 (2)는 성립할 수 없습니다.
(2) {x|F(x)}≠∅, {x|G(x)}≠∅이고, F(x)를 만족하면서 {x|G(x)}에 속하지 않는 어떤 x가 있다.
역으로 (2)가 성립하면, 즉 ‘∃(F(x)∧￢G(x))’가 참이면, (1)은 성립하지 않습니다. 이러한 식으로 ‘∀x(F(x)→G(x))’와 ‘∃(F(x)∧￢G(x))’는 서로 모순 관계를 맺고 있음을 알 수 있습니다.
[물음 29] 위 글의 (1)과 (2)에 해당하는 그림을 그려 본다면?
[물음 30] 다음 도식의 빈 칸을 채워 본다면?
(A)
(B)
(C)
(D)
확실한 주장은 결론의 근거가 되는 전제들을 참으로 받아들일 때 결론이 예외를 허락하지 않는 경우에 해당합니다. 전제부와 결론이 명확히 구분되는 주장을 ‘논증(argument)’이라고 합니다. 논리학자들은 전제들을 참으로 가정할 때 결론이 거짓이 될 수 없는 논증을 ‘타당한 논증(valid argument)’이라고 합니다.
[물음 31] 다음 문제들을 풀어 봅시다.
(1)
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논증 |
술어 형식을 빌려 표현해 보기 |
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• 모든 동물은 죽을 수밖에 없는 생물이다. • 모든 사람은 동물이다. • 모든 사람은 죽을 수밖에 없는 생물이다. |
<전제부들만 집합론적으로 표상해 보기>
위 논증은 타당한가?
(2)북극곰과 비슷하게 생긴 ‘탈랄라’라는 동물이 진짜 있다고 가정합시다.
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논증 |
술어 형식을 빌려 표현해 보기 |
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• 그 어떤 탈랄라도 북금곰이 아니다. • 모든 북극곰은 북극에 사는 동물이다. • 어떤 탈랄라는 북극에 사는 동물이다. |
<전제부들만 집합론적으로 표상해 보기>
위 논증은 타당한가?
(3)
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논증 |
술어 형식을 빌려 표현해 보기 |
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• 안경을 낀 어떤 사람은 영리한 사람이 아니다. • 멍칙이는 영리한 사람이 아니다. • 안경을 낀 어떤 사람은 멍칙이가 아니다. |
<전제부들만 집합론적으로 표상해 보기>
위 논증은 타당한가?
지금까지 살펴본 술어들은 주어를 하나만 갖는 경우에 국한되어 있습니다. 그런데 두 개의 주어를 갖는 술어들도 있습니다. 바로 ‘관계’를 함축한 술어들입니다. 관계에 대해서 알아보도록 합시다.
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