GCTC 퀴즈: 콩도르세 역설(Condorcet Paradox)

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* 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

콩도르세(Marquis de Condorcet, 1743~1794)는 프랑스 혁명을 이끈 인물 중 한 명으로 노예 해방과 여성의 참정권을 옹호한 인물로 잘 알려져 있다. 혁명 후 프랑스가 지향해야 할 사회에 대한 그의 정책 설계는 교육, 정치, 경제 등을 다루고 있다. 하지만 콩도르세는 왕의 처형을 반대했고 극단적 정치 노선을 경계했다. 반대파에 의해 적으로 몰린 그는 결국 의문사로 생을 마감하였다. 드라마틱한 콩도르세의 일생을 관통하고 있는 관심사 중 하나는 수학적 방법을 사용하여 사회 및 정치 문제를 해결하는 것이었다. 수학자였던 그는 달랑베르(J. d'Alembert) 등의 영향으로 적분 연구에 기여를 하였다. 그가 적분을 연구하던 시절의 프랑스는 루이 15세(King Louis XV)의 통치를 받고 있었다. 당시 프랑스 재정을 담당했던 투르고(J. Turgo)와의 교류를 통해 콩도르세는 관심의 지평을 넓힐 수 있었다. 콩도르세와 함께 회자되는 ‘콩도르세의 역설(Condorcet paradox)’은 수학이 사회 및 정치 문제의 해결에 도움을 줄 수 있다는 그의 신념을 방영해준다. 세 명이 후보로 출마한 선거 상황을 고려하여 보자. 다른 후보들보다 선호되는 후보가 딱히 없는 경우가 발생할 수도 있다. 그러한 경우 중 하나는 일명 ‘다수결 규칙의 순환(majority rule cycle)’ 혹은 ‘순환적 무승부(circular tie)’로 불리는 것으로 수학의 관계 이론에서 중요한 이행성(transitivity) 조건이 깨진 상황에 해당한다. 실례로 세 후보 A, B, C에 대해 (A, B), (B, C), (A, C)라는 쌍들을 비교하여, A와 B 중 다수가 누구를 선호하는지, B와 C 중 다수가 누구를 선호하는지, 그리고 A와 C 중 다수가 누구를 선호하는지를 따진다. 쌍별 비교에 근거한 다수결 원칙에 따라 A가 B보다, B가 C보다 선호되지만 C가 A보다 선호되어 아무도 선출할 수 없게 되는 상황을 생각해 볼 수 있다. 수학은 그러한 상황이 발생하게 된 조건들을 명확히 해준다.

 

4. 콩도르세 역설에 담긴 콩도르세의 궁극적 의도는? (여기서 ‘궁극적 의도’는 위 글의 핵심 주장에 근거한 것이어야 한다.)

① 이행성의 조건이 성립하지 않는 경우도 있다.

② 다수결 원칙에 따라 다수가 선호하는 대안을 선택할 수 없는 경우도 있다.

③ 수학적 방법은 사회 및 정치 문제를 해결하는 데 도움을 줄 수 있다.

④ 수학 없이는 사회 및 정치 문제를 해결할 수 없다.

⑤ 사회 및 정치학은 수학의 분과가 될 것이다.

 

5. 세 후보 A, B, C 중 한 명을 뽑기 위해 M1, M2, M3의 선거단이 구성되었다. 이때 콩도르세의 순환적 무승부를 보여주는 M1, M2, M3의 선호 방식을 <보기>에서 고른다면? (두 대안 X, Y의 비교에서 Y보다 X를 선호한 경우는 ‘X>Y’로 표현된다.)

 

<보기>

(가) M1: A>B>C, M2: C>A>B, M3: B>C>A (나) M1: A>B>C, M2: A>B>C, M3: B>C>A (다) M1: A>B>C, M2: B>A>C, M3: C>A>B

 

① (가) ② (나) ③ (다) ④ (가), (다) ⑤ (나), (다)

 

6. 콩도르세 역설을 발생시키는 투표 방식은 투표자들의 선호 방식을 고려한 투표 방식이다. 투표자들의 선호 방식을 고려한 것 중에는 <보기 1>의 방식도 있다. 위 글과 <보기 1> 및 <보기 2>에 근거해 판단할 때 받아들일 수 없는 주장은?

 

<보기 1>

투표자들의 선호 방식을 고려한 것 중에는 ‘최저 득표자 제거법’이 있다. 이 방식은 우선 한 사람의 후보들을 선호하는 순서대로 지명한다. 예를 들어 1순위는 A후보, 2순위는 B후보, 이렇게 정하는 것이다. 이 방식은 최다 득표자가 아니라 최저 득표자를 따진다. 1순위로 가장 적은 표를 얻은 후보가 먼저 탈락된다. 이때 탈락 후보를 1순위로 찍은 사람들의 표에서는 2순위의 후보를 1순위로 간주하여 합산한다. 그리고 다시 최저 득표자를 탈락시킨다. 어느 한 사람이 과반수의 지지를 얻을 때까지 이를 반복하는 것이다.

 

<보기 2>

(가)

60명	A>B>C
50명	C>B>A
40명	B>C>A

                                                      (나)

50명	A>B>C
50명	C>B>A
50명	B>C>A

                                                                                (다)

50명	A>B>C
50명	C>A>B
50명	B>C>A

   

① <보기 1>의 투표 방식에 따를 때, <보기 2> (가)의 경우 C가 당선되겠군.

② <보기 1>의 투표 방식에 따를 때, <보기 2> (나)와 (다)의 경우 당선자가 나올 수 없어.

③ <보기 1>의 투표 방식에 따를 때, <보기 2> (가)의 경우 B가 우선적으로 제거되어도 B를 가장 선호하는 사람들의 의견이 무시되지는 않는군.

④ 콩도르세 역설을 발생시킨 투표 방식에 따를 때, <보기 2> (나)의 경우 C가 당선되겠군.

⑤ 콩도르세 역설을 발생시킨 투표 방식에 따를 때, 순환적 무승부를 보여주는 경우는 <보기 2>의 (다)이군.