술어 논리에 바탕을 둔 논리적 분석

* 다음은 총 50장으로 구성된 <사고 훈련 과정>의 한 장이다. 다음 사고 훈련 자료를 저자 이상하의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금한다. (GK 비판적 사고 031-381-2282)

 

 

사고 훈련 25

- 술어 논리에 바탕을 둔 논리적 분석 -

 

 

진술들의 분류 방식에 따라 논리학의 종류를 분류하는 경우, 진술 논리, 양상 논리, 시제 논리, 의무 논리 등이 있습니다. 이는 논리학의 여러 측면들을 다룬 <사고 훈련 23>에서 살펴보았습니다. 우리가 살펴본 진술 논리 체계는 특정 조건들 아래 ‘접속사의 기능’ 및 ‘논증에서의 추론 방식’을 모방하도록 고안된 체계입니다. 그러한 조건들을 진술 논리 체계를 다른 논리 체계와 구분시켜 준다는 점에서 ‘진술 논리 체계의 경계 조건들’이라고 합시다.

 

 

[물음 1] 진술 논리 체계의 경계 조건에 해당하지 않는 것은?

 

① 두 개의 범주 개념들로 구성된 진술들을 다루며, 그런 진술의 참 거짓 판단은 개념들에 대응하는 집합들 사이의 관계에 근거한다.

② 참 거짓 판단 가능한 진술들을 다루며, 이때 경험적 진술은 사건 발생 및 사실 존재 여부에 의해 참 거짓 판단이 이루어지는 진술이다.

③ 참도 거짓도 아니거나 아직 그 진위 여부 판단이 유보적인 경우는 제외한다.

④ 참 거짓 판단은 진술들이 주어지는 순서와 무관하며, 논리적 연결사의 기능 방식은 시제 및 양상 등 진술의 내용을 구성하는 것을 무시하고 오로지 진리치의 형식적 계산 방식에 근거한다.

⑤ 타당한 논증 형식의 전제들과 결론의 관계를 함의 연결사 ‘→’의 전건과 후건의 관계와 동일한 것으로 간주한다.

 

 

타당한 논증 형식의 전제들과 결론의 관계를 함의 연결사 ‘→’의 전건과 후건의 관계와 동일한 것으로 간주하는 경우, 각 타당한 논증 형식에 대응하는 추론 형식은 ‘동어 반복 형’을 띠게 됩니다. 이는 <사고 훈련 22>에서 살펴보았습니다. 진리표에서 항상 참인 값만 갖는 특정 동어 반복 형이 추론 형식을 나타낸다고 할 때, 그런 추론 형식을 ‘내용 의존적인 실제 추론 과정’에서의 법칙처럼 여겨서는 안 됩니다. 왜냐하면 그러한 형식은 내용 의존적인 추론 과정에 근거한 논증들 중에서 타당하다고 여겨진 것들로부터 추상화된 것이기 때문입니다.

 

우리는 <사고 훈련 Part 2>에서 진술 논리 체계와는 구분되는 범주 삼단 논법도 살펴보았습니다. 범주 삼단 논법도 참 거짓 판단에서 두 진리치 중 하나만 갖는 진술들을 다룬다는 점에서는 진술 논리와 공통점을 갖습니다. 하지만 범주 삼단 논법을 구성하는 모든 경계 조건들이 진술 논리와 동일한 것은 아닙니다. 범주 삼단 논법은 외연을 집합으로 갖는 세 개념들로만 구성되며, 그 중 두 개를 주어와 술어로 하여 구성된 진술들로 두 개의 전제들과 하나의 결론을 구성합니다. 그리고 참 거짓 판단은 해당 집합들의 포함 관계 등에 근거합니다. 이러한 조건들 아래 성립하는 범주 삼단 논법들에 대한 타당성을 따지는 기법으로는 수학의 대소 관계 등을 다룰 수 없습니다. 심지어 개별 대상을 지칭하는 표현을 주어로 갖는 진술도 다룰 수 없습니다. 더욱이 접속사의 기능도 다룰 수 없습니다. 그러나 범주 삼단 논법은 ‘모든’ 혹은 ‘어떤’과 같은 양화사의 기능을 배제하지 않습니다. 진술 논리는 그런 기능을 다룰 수 없다는 약점을 갖고 있습니다.

 

 

[물음 2] 위 글에 근거해 생각해 볼 화제로 가장 적절한 것은?

 

① 진술 논리에서 다루어지지 않은 양상을 처리하는 방법은 무엇일까?

② ‘모든’ 혹은 ‘어떤’과 같은 양화의 기능을 처리할 수 있도록 진술 논리 체계를 확대시키는 방법은 없을까?

③ 범주 삼단 논법에 근거해 시제를 다루는 적절한 방법은 무엇일까?

④ 범주 삼단 논법의 구성 기법과 진술 논리의 추론 형식들을 적절히 결합하면, 그것 내에서 논리학의 모든 종류를 다룰 수 있지 않을까?

⑤ 진술 논리 체계와 범주 삼단 논법 중 무엇을 받아들여야 할까?

 

 

‘모든’ 혹은 ‘어떤’과 같은 양화사의 기능을 처리할 수 있도록 진술 논리 체계를 확대시키는 방법 중 가장 단순한 것은 진술 논리 체계의 경계 조건들에 다음 조건들을 더하는 것입니다.

 

• 모든 개념들은 범주화 가능하다. 즉 범주 개념들로 대체 가능하다.

• 개별 대상을 지칭하는 주어를 하나만 갖는 술어에는 그러한 범주 개념이 함축되어 있다.

• 개별 대상을 지칭하는 주어를 두 개 갖는 술어에는 관계가 함축되어 있다.

 

우리말의 술어들이 위 조건들 중 첫 번째와 두 번째를 만족하는지는, 즉 모든 술어에 범주 개념이 함축되어 있는 것으로 간주할 수 있는지는 의심스럽습니다. 이러한 의심은 영어나 독어 등 인도유럽어족에서는 약화됩니다. 또 다른 문제가 있습니다. 우리말과 달리 인도유럽어족은 ‘A be C’라는 진술의 기본 형태를 갖는데, 이로 인해 주어와 술어에 대응하는 것을 서로 분리해 다룰 수 있습니다. 이 때문에, 술어는 ‘시간과 공간적 특징을 완전히 결여한 추상적 속성’을 뜻한다고 보는 전통도 있습니다. ‘이 꽃은 노랗다’라는 진술에서 주어에 대응된 노란 꽃은 시공간적 특징을 갖고 있지만, ‘... 노랗다’에 대응된 ‘순수한 노란 그 자체’라는 추상적 속성은 그렇지 않다는 것입니다. 이를 받아들이면, ‘노란 그 자체’라는 추상적 속성은 우리 세계가 아니라 추상적 세계에 존재하거나, 아니면 우리 세계는 추상적인 것들을 포함한 더 큰 세계의 일부라고 말해야 합니다. 정말 추상적인 속성들이 있을까요? 이 물음에 대해 긍정하든 부정하든, 분명한 것이 있습니다. 그 어떤 경우에나 개별적 대상들에서 공통적인 것을 찾아 개념화하는 인간의 능력을 부정할 수 없다는 것입니다. 추상적 속성 존재를 둘러싼 논쟁을 피하기 위해 술어에 함축된 것 혹은 술어의 의미를 개념으로 취급할 것입니다.

 

위 조건들에 따라 진술 논리 체계를 확대한 것을 ‘2치 술어 논리’라고 합시다. ‘모든’과 ‘어떤’을 내용과 무관한 논리적 연산자처럼 취급하여 각각 ‘∀’와 ‘∃’로 나타냅시다. 여기서 ‘모든’과 ‘어떤’을 내용과 무관한 논리적 연산자처럼 취급한다는 것의 의미는 나중에 밝혀질 것입니다. 이때 범주 삼단 논법을 다룰 때 살펴본 진술 유형들은 술어 논리의 표현 방식으로 변환 가능합니다. 다음은 러셀의 변환 방식에 따른 것입니다.

 

• 모든 S는 P다. (S와 P는 범주 개념을 나타낸다.)

∀x(S(x)→P(x)) (임의의 x에 대해 S(x)이면 P(x)이다.)

 

• 어떤 S는 P다.

∃x(S(x)∧P(x)) (S(x)이고 P(x)를 만족하는 x가 적어도 하나 존재한다. 어떤 x에 대해 S(x)이고 P(x)이다.)

 

• 그 어떤 S도 P가 아니다.

∀x(S(x)→￢P(x)) (임의의 x에 대해 S(x)이면 P(x)가 아니다.)

 

• 어떤 S는 P가 아니다.

∃x(S(x)∧￢P(x)) (S(x)이면서 P(x)를 만족하는 x는 존재하지 않는다. 어떤 x에 대해 S(x)이지만 P(x)는 아니다.)

 

 

<사고 훈련 Part 2>에서 살펴본 범주 삼단 논법에 익숙한 사람은 두 범주 개념으로 구성된 진술 유형들을 술어 논리를 바탕으로 위처럼 푸는 이유를 알 것입니다. 여기서는 그렇게 푸는 이유를 개념어를 포함하지 않는 가상의 언어를 가정하여 알아 볼 것입니다.

 

 

[물음 3] 다음 진술들을 양화사 ‘∀’와 ‘∃’, 그리고 진술 논리의 논리적 연결사들을 사용하여 풀어 본다면? (‘S는 P다’의 진술 유형은 ‘모든 S는 P다’로 처리하자.)

 

(1) 그 어떤 개도 고양이가 아니다.

 

(2) 어떤 호랑이는 육식 동물이 아니다.

 

(3) 사람은 아주 악한 동물이다.

 

(4) 어떤 사자는 게으른 동물이 아니다.

 

(5) 사람이란 선한 동물이다.

 

 

[물음 3]에서 형용사와 명사가 결합한 ‘악한 동물’과 같은 것은 하나의 술어로 처리해도 되지만 엄격하게는 두 술어를 연접한 것으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 ‘사람은 자고로 동정심을 가진 동물이다’라는 진술을 고려해 봅시다. ‘자고로’와 같은 당위성의 정도를 나타내는 것은 고려할 필요가 없습니다. 그런 것은 우리가 살펴보는 진술 및 술어 논리에서는 무시되기 때문입니다. ‘사람은 동정심을 가진 동물이다’는 논리적으로 ‘사람은 동정심을 가지고 있고, 또한 동물이다’로 풀 수 있습니다. 이는 ‘∀x[사람(x)→(동정심(x)∧동물(x))]’로 나타낼 수 있겠군요. 이러한 식으로 생각해 보면, ‘사람은 선하거나 악하다’는 ‘∀x[사람(x)→(선함(x)∨악함(x))]’로, ‘어떤 고양이는 주인을 무시할 뿐만 아니라 매우 사납다’는 ‘∃x[고양이(x)∧(주인무시(x)∧사나움(x))]’로 나타낼 수 있겠군요.

 

‘그 어떤 개와 고양이도 바다에 살지 않는다’는 무엇을 뜻할까요? ‘x는 바다에 살지 않는다’는 주어를 하나만 갖는 술어입니다. 즉 ‘바다삶(x)’는 관계를 함축하고 있지 않습니다. 이때 ‘그 어떤 개와 고양이도 바다에 살지 않는다’는 ‘그 어떤 개도 바다에 살지 않으며, 고양이도 바다에 살지 않는다’로 해석됩니다. 여기서 ‘그 어떤’은 개뿐만 아니라 고양이도 한정하고 있음에 주의해야 합니다. 따라서 그 진술은 ‘∀x[(개(x)→￢바다삶(x))∧(고양이(x)→￢바다삶(x))]’로 표현되겠군요. ‘그 어떤 푸른 도마뱀도 나무에 살지 않는다’에서 ‘푸른 도마뱀’은 ‘푸름(x)∧도마뱀(x)’으로 처리됩니다. 그 진술은 ‘∀x[(푸름(x)∧도마뱀(x))→￢나무삶(x)]’로 표현됩니다.

 

‘어떤 도마뱀은 나무를 타지 못한다’는 ‘∃x[도마뱀(x)∧￢나무탐(x)]’로 표현 가능하겠군요. 일상적인 진술을 이렇게 술어 논리를 바탕으로 처리하는 것은 부단한 연습을 필요로 합니다. 특정 유형에 대한 술어 논리적 처리 방식은 경우에 따라서는 협약의 결과로 여겨도 무방합니다.

 

 

[물음 4] ‘∃x[고양이(x)∧(주인무시(x)]∧∃x[고양이(x)∧(사나움(x)]’을 우리말로 풀어 본다면? 그리고 그렇게 풀어 본 것은 ‘어떤 고양이는 주인을 무시할 뿐만 아니라 매우 사납다’와 의미의 측면에서 어떤 차이를 보일까요?

 

 

[물음 5] 다음 진술 유형들을 술어 논리를 바탕으로 풀어 본다면?

 

(1) 모든 F인 S는 P다.

 

(2) 모든 S1과 S2는 P다.

 

(3) 모든 S는 F인 P다.

 

(4) 모든 S는 P1이거나 P2이다.

 

(5) 모든 S는 P1이고 P2이다.

 

(6) 모든 S는 P1이거나 P2이다.

 

(7) F인 어떤 S는 P다.

 

(8) 어떤 S는 P1이거나 P2이다.

 

(9) 어떤 S는 P1이면서 P2가 아니다.

 

(10) F인 그 어떤 S도 P가 아니다.

 

 

이제 개념어들 없이 술어만으로 구성된 언어를 가정해 봅시다. 그러한 언어는 다음의 이유에서 현실적으로 존재하기 힘듭니다.

 

• ‘개’, ‘돼지’와 같은 표현 없이 ‘x는 개다’, ‘x는 돼지다’와 같은 표현만 있는 언어는 사용하기 불편하다. 즉, 그러한 언어는 정보 압축률 측면에서뿐만 아니라 의사소통에서도 경제적 효율성이 떨어진다. 언어 진화에 그러한 효율성이 중요한 요인이라면, 술어들로만 구성된 실제 언어는 생각하기 힘들다.

 

그러나 술어들로만 구성된 언어를 가정하는 것은 일반적인 2치 술어 논리 체계를 이해하는 데 도움을 줍니다. 그러한 언어는 다음과 같이 구성됩니다.

 

• 대상 영역과 대상들을 나타내는 표현들

대상들 ‘a, b, c, d, ...’에 대해 그러한 대상들을 나타내는 표현 및 표현 방식이 있어야 한다. 대상들을 지칭하는 이름, 대명사 등이 그러한 표현 방식을 대표한다. 술어 논리를 구성할 때 반드시 대상 영역이 정해져야 하는 것은 아니다. 대상 영역을 정하는 것은 술어들의 주어에 들어갈 대상들의 세계를 정하는 것이기도 하다. 여기서 ‘a, b, c, d, ...’는 그러한 대상들을 나타내기도 하지만 대상들을 지칭하는 것들도 나타낸다고 하자. 이로 인해 발생하는 모호함은 맥락 속에서 상쇄 가능하기 때문에 큰 문제를 발생하지는 않는다. ‘x, y, z, ...’는 대상 변수들을 나타낸다.

 

• 술어

‘x는지렁이다’처럼 주어를 하나 갖는 술어들을 ‘P(x), Q(x), R(x) ...’로 나타내자. 이때 ‘P(x), Q(x), R(x) ...’는 엄밀히 말해 실제 술어들을 지칭하는 이름과 같은 것들이다. 여기서 ‘P(x), Q(x), R(x) ...’는 맥락에 따라 특정 술어를 지칭하기도 하지만 술어 변수들로도 사용된다. 이로 인해 발생하는 모호함 역시 맥락 속에서 상쇄 가능하기 때문에 큰 문제를 발생하지는 않는다. 술어들 중에는 ‘x와 y는 사랑한다’처럼 주어를 두 개 갖는 술어들도 있다. <사고 훈련 1>에서 보았듯이, 주어를 두 개 갖는 것으로 파악 가능한 술어들에는 관계들이 함축되어 있다. 관계를 함축한 술어들을 ‘P(x, y), Q(x, y), R(x, y) ...’로 나타내자.

 

• 단순 진술들

술어들의 경우, 대상 변수들이 대상들을 지칭하는 표현들로 채워지지 않는다면 참 거짓 판단 불가능하다. 이러한 이유로, 술어들의 대상 변수 중 하나라도 채워지지 않은 경우는 ‘불완전 진술’ 혹은 ‘열린 진술’로 불리기도 한다. 모든 술어는 열린 진술이지만, 모든 열린 진술이 엄격한 의미에서의 술어가 되는 것은 아니다. 단순 진술들은 술어의 모든 대상 변수가 채워진 경우에 해당한다. 이 때문에, 단순 진술들은 참 거짓 판단 가능한 ‘닫힌 진술’들을 대표한다. 모든 단순 진술들은 닫힌 진술들이지만, 모든 닫힌 진술들이 단순 진술들은 아니다. 단순 진술들에 양화사 및 논리적 연결사들을 적절히 적용해 얻어진 복합 진술들도 닫힌 진술들을 대표하기 때문이다.

 

• 양화사와 논리적 연결사들

연접 연결사(∧), 이접 연결사(∨), 부정 연결사(￢), 함의 연결사(→)의 기능 방식은 진술 논리를 다룰 때 살펴보았다. 그 기능 방식은 진술들의 내용이 아니라 진리치를 변환하거나 결합하는 방식이다. 보편 양화사(∀)와 존재 양화사(∃) 역시 진술들의 내용과 무관하게 그 기능 방식이 규정된다. 그러한 규정 방식은 이어질 장에서 살펴볼 것이다.

 

• 복합 진술

복합 진술들은 단순 진술들에 양화사와 논리적 연결사들을 적용해 만들어진다. 여기에는 그러한 양화사 및 논리적 연결사들의 기능 방식이 진술들의 내용과 무관하다는 전제가 깔려 있다. 그러한 영화사 및 논리적 연결사들은 내용 의존적인 실제 양화사 및 접속사들의 기능을 모방할 뿐이다. 단순 진술들에 양화사 및 논리적 연결사들을 적용할 때, 정당한 적용법과 그렇지 않은 적용법이 있다. 이때 정당한 적용법과 그렇지 않은 적용법을 구분하는 것을 하나의 주제로 삼을 수 있으나, 그러한 주제는 여기서 다루지 않는다. 단순 진술들에 양화사 및 논리적 연결사들을 정당하게 적용하여 얻어진 경우, 그 결과물은 복합 진술들이며, 그러한 복합 진술들은 일상적 언어로 변역 가능하다.

 

 

주어진 대상 영역과 관련해 모든 대상들이 만족하지 않도록 구성된 술어의 존재 가능성은 배제되지 않습니다. 이로 인해 발생하는 흥미로운 문제는 양화사에 대한 해석을 다루는 다음 장에서 보게 될 것입니다. <사고 훈련 Part 2>에서 간략히 살펴본 ‘공허한 참(vacuously truth)’이라는 개념도 그곳에서 분석될 것입니다. 이제 주어진 대상 영역이 현실 세계라고 합시다. 이를 전제하고 다음 물음들에 답해 봅시다.

 

 

[물음 6] <보기> 중 참 거짓 판단 불가능하지만 엄격한 의미에서의 술어가 아닌 것은?

 

<보기>

(가) 지렁이(x) (나) ∀x(지렁이(x)∧애완용동물(y)) (다) ∃y[∀x지렁이(x)∨애완용동물(y)]

 

① (가)   ② (나)   ③ (다)   ④ (가), (나)   ⑤ (나), (다)

 

 

[물음 7] <보기> 중 복합 진술 형태가 아닌 것을 모두 고른다면?

 

<보기>

(가) ∀x(지렁이(x)→애완용동물(y)) (나) (지렁이(x)→애완용동물(y)) (다) 지렁이(찔꽁이)

 

① (가)   ② (나)   ③ (다)   ④ (가), (나)   ⑤ (나), (다)

 

 

주어진 대상 영역이 현실 세계라고 합시다. 이를 전제하고 술어 논리를 바탕으로 복합 진술들을 ‘단순 진술들의 결합 형태’로 변환할 수 있습니다. 그러한 변환을 ‘술어 논리에 바탕을 둔 논리적 분석’이라고 합니다. 실례로 [물음 6]의 (가)는 술어 논리를 바탕으로 ‘모든 지렁이는 애완동물이다’를 분석한 결과입니다.

 

 

[물음 8] 술어 논리를 바탕으로 다음 진술을 분석할 때 더 이상 분석 불가능한 형태는?

 

• 개 중에는 주인을 보면 반기는 놈이 있는가 하면 반기지 않는 놈도 있다.

 

① 어떤 개는 주인을 보면 반기는 놈이거나 반기지 않는 놈이다.

② 개이면서 주인을 보면 반기거나 반기지 않는 x가 존재한다.

③ ∃x[개(x)→(주인봄(x)→((주인반김(x)∨￢주인반김(x)))]

④ ∃x[개(x)∧(주인봄(x)→((주인반김(x)∨￢주인반김(x)))]

⑤ ∃x[개(x)∧(주인봄(x)→주인반김(x)]∧∃x[개(x)∧(주인봄(x)→￢주인반김(x)]

 

 

[물음 9] [물음 8]에서 ‘개 중에는 주인을 보면 반기는 놈이 있는가 하면 반기지 않는 놈도 있다’와 의미상 다른 것을 두 개 고르고, 그 두 개를 우리말로 풀어 본다면?

 

 

[물음 10] 술어 논리를 바탕으로 다음 진술들을 분석해 본다면?

 

(1) 모든 개는 꼬리를 갖고 있다.

 

(2) 찔꽁이가 지렁이면 기어 다닌다.

 

(2) 어떤 개는 짖거나 짖지 않는다.

 

(4) 그 어떤 정치가도 정직하지 않다.

 

(5) 파란 눈의 어떤 호랑이는 종종 초식을 한다.

 

 

모든 모임이 집합은 아닙니다. 하지만 집합은 모임을 나타내는 효과적인 수단입니다. 대상 영역을 집합으로 나타내 봅시다. 실례로 모든 정수들의 집합 Z를 그러한 대상 영역이라고 합시다. 이때 수학적으로 참인 다음과 같은 진술을 생각해 볼 수 있습니다.

 

• 모든 정수는 짝수이거나 홀수이다.

 

위 진술은 다음과 같이 변환 가능합니다.

 

• 임의의 x에 대해 x가 정수이면 x는 짝수이거나 홀수이다.

 

따라서 위 진술은 다음과 같이 변환 가능합니다.

 

• ∀x[(x∈Z)→(짝수(x)∨홀수(x))]

 

그런데 수학자들은 위와 같은 표현을 다음과 같이 줄여 사용합니다.

 

• ∀n∈Z(짝수(n)∨홀수(n)) (임의의 정수 n에 대해 n은 짝수이거나 홀수이다. 모든 정수 n은 짝수이거나 홀수이다.)

 

어떤 자연수 n이 짝수라는 것은 ‘n/2’, 즉 2로 나눠질 수 있음을 뜻합니다. 홀수라는 것은 짝수가 아님을 뜻합니다. 이를 바탕으로 다음과 같은 진술을 얻을 수 있습니다.

 

• ∀n∈Z(n/2∨￢(n/2))

 

‘임의의 정수 n, m에 대해 ...’는 ‘∀n, m∈Z ...’로 표현합니다.

 

 

[물음 11] ‘∀n∈Z(짝수(n))∨∀n∈Z(홀수(n))’를 우리말로 풀어 보고, 수학적으로 거짓인 이유를 설명해 본다면? (‘P∨Q’는 두 진술 P와 Q 중 적어도 하나가 참이면 참임으로 판단됨을 기억하라.)

 

 

이제 대상 영역이 실수들의 집합 R로 주어졌다고 합시다. 다음 진술을 생각해 봅시다.

 

• 5x2+9x+1=0은 실근을 갖는다.

 

위 진술은 다음을 뜻합니다.

 

• 어떤 x에 대해 x는 실수이고 ‘5x2+9x+1=0’이다. 또는 실수이면서 ‘5x2+9x+1=0’을 만족하는 x가 있다.

 

따라서 다음을 얻을 수 있습니다.

 

• ∃x[x∈R∧(5x2+9x+1=0)]

 

수학자들은 위 진술을 다음과 같이 표현합니다.

 

• ∃x∈R(5x2+9x+1=0)

 

‘어떤 실수 x, y에 대해 ...’ 혹은 ‘.... 을 만족하는 실수 x, y가 있다’는 ‘∃x, y∈R ...’로 표현합니다.

 

 

[물음 12] 다음은 ‘√2는 양의 유리수이다’라는 거짓 진술을 술어 논리를 바탕으로 분석해 본 것이다. 빈 칸을 채워 본다면? (유리수들의 집합은 Q로 나타내자.)

 

(1) 모든 양의 유리수 q는 자연수의 비례로 나타낼 수 있다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

• ∀q∈Q[∃n, m∈N(q=n/m)] (이를 ‘∀q∈Q∃n, m∈N(     )’로 쓰곤 한다.)

 

(2) √2가 양의 유리수라면, 그것은 자연수의 (     )로 나타낼 수 있다.

 

• (     )(√2=n/m)

 

 

[물음 13] 다음을 우리말로 풀어 본다면?

 

• ∀n, m∈N(√2≠n/m)

 

 

[물음 14] 다음 진술들을 술어 논리의 표현 방식을 빌려 변환해 본다면? 그리고 수학적으로 참인지 거짓인지 따져 (참, 거짓)란에 영표를 해보자.

 

(1) x2=9는 자연수의 해를 갖는다. (참, 거짓)

 

(2) 10조는 가장 큰 자연수가 아니다. (10조보다 큰 자연수가 존재한다.) (참, 거짓)

 

(3) 0보다 작은 자연수는 없다. (모든 자연수는 0보다 크다.) (참, 거짓)

 

(4) 임의의 실수 y에 대해 ‘x2+y=0’은 항상 실근을 갖는다. (참, 거짓)

 

(5) 임의의 실수 x가 0보다 크다면 -2x는 0보다 작다. (참, 거짓)

 

(6) 두 개의 동일하지 않은 실수 사이에는 또 다른 실수가 있다. (임의의 두 실수가 동일하지 않다면, 그 두 실수 사이에는 또 다른 실수가 존재한다.) (참, 거짓)

 

 

[물음 15] P를 {x|사람(x)}라고 하자. 이때 술어 논리를 바탕으로 다음 진술들을 분석해 본다면?

 

(1) 모든 사람은 누군가를 사랑한다.

 

(2) 모든 사람은 키가 크거나 작다.

 

(3) 모든 사람은 키가 크거나, 혹은 모든 사람은 키가 작다.

 

(4) 그 누구도 지금 집에 없다.

 

(5) 어떤 사람은 과식을 즐긴다.

 

(6) 배부른 어떤 사람은 수업을 듣지 않고 졸고 있다.

 

(7) 착한왕이 이 카페에 나타나면, 모든 여자는 자리를 뜬다.