불멸의 샌디와 힐베르트 호텔

* 다음 자료를 이상하의 허락 없이 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금한다.

 

* 집합은 크게 두 가지 종류가 있다. 논리적 집합과 단계적 구성물로서의 집합이 그 두 종류이다. 러셀의 역설로 잘 알려진 집합 개념은 논리적 집합에 해당한다. 반면 무한 집합에도 기수의 크기 차이가 있다는 칸토어의 발견과 관련된 집합 개념은 단계적 구성물로서의 집합이다. 이러한 차이는 러셀의 역설에서 큰 수학적 의미를 찾을 수 없다는 칸토어의 말 속에 반영되어 있다. 집합론의 공리 체계를 대표하는 ZF 체계에는 두 종류의 집합 개념이 뒤섞여 있다. 다음 문제는 이와 관련된 논쟁사를 알아 가는 과정에서 등장하는 문제이다. 논리적 집합과 단계적 구성물로서의 집합, 그리고 기수 개념에 대한 설명 및 문제들은 올리지 않는다. 그러한 설명 없이도 다음 문제는 풀 수 있다. 

 

 

다음은 러셀과 수학자 힐베르트가 만든 이야기를 바꾼 것입니다.

 

<불멸의 샌디>

샌디는 평소에 써놓았던 방대한 일기를 바탕으로 그녀의 자서전을 쓰기로 했습니다. 그러나 처음 하루의 이야기를 쓰는 데만 무려 한 달이 걸렸습니다. 이런 속도라면 결코 자서전을 끝낼 수 없습니다. 자기가 엮어낼 수 있는 것보다 새로운 이야기가 너무 빨리 쌓이기 때문입니다. 이 때문에, 샌디는 자서전을 쓰는 작업을 포기해야 한다고 한탄했습니다. 샌디의 한탄을 들은 러셀은 이렇게 말했다.

 

“걱정 말아요 불멸의 샌디. 당신이 영원히 살 수만 있다면, 새로운 이야기가 너무 빨리 쌓여도 그것 때문에 자서전을 쓰는 작업을 포기할 이유는 없으니까요.”

 

 

<힐베르트 호텔>

러셀의 말을 이해하기 위해 유한개의 객실을 가진 호텔을 상상해 봅시다. 빈 방이 없다고 합시다. 새로 온 손님이 방을 요구하자, 호텔 주인은 사과를 합니다.

 

“죄송하지만, 빈 방이 없습니다.”

 

이제 자연수만큼 무한개의 방을 가진 ‘힐베르트의 호텔’을 상상해봅시다. 무한개의 방 모두가 손님들로 꽉 차있다고 합시다. 그런데 새로 온 손님이 방을 요구하자, 이번에는 호텔 주인이 당당하게 말합니다.

 

“물론이죠!”

 

그는 1 번방 손님을 2 번방으로, 2 번방 손님을 3 번방으로, 3 번방 손님을 4 번방으로 옮겼습니다. 새로 온 손님은 1 번방을 배정 받았습니다. 그러나 이번에는 무한 명의 손님들이 한꺼번에 몰려와 방을 요구했지만, 호텔 주인은 역시 자신만만해 했습니다. 그는 1 번방 손님을 2 번방으로, 2 번방 손님을 4 번방으로, 3 번방 손님을 6 번방으로 옮겼습니다. 호텔 주인은 이런 식으로 모든 투숙객들을 옮겼습니다. 결국 ( A ) 번방들이 비게 된 것이죠. 새로 온 무한명의 손님들은 ( A ) 번방들을 차지할 수 있었답니다.

 

[물음 10] <힐베르트 호텔>의 빈 칸 (A)에 들어가야 하는 것은?

 

 

[물음 11] 힐베르트 호텔의 무한개의 방 모두가 손님들로 꽉 차있다고 합시다. 무한명의 손님이 몰려 왔을 때 짝수 번방들이 비도록 해본다면?

 

   

[물음 12] 수들이 나열된 수선(數線)을 이용하여 자연수 집합과 양의 홀수들의 집합이 일대일 대응 관계를 맺음을 보인다면?

   

 

 

샌디는 새로운 이야기가 너무 빨리 쌓이면 영원히 살 수 있을지라도 자서전을 쓰는 작업을 포기해야 한다고 한탄하고 있습니다. 매일 매일 과거의 이야기를 기록해 나가는 양은 과거의 이야기에 새로운 이야기가 덧붙여진 양에 부분으로 포함되기 때문입니다. 그러나 무한명의 손님이 와도 방을 마련할 수 있는 <힐베르트 호텔> 이야기는 샌디의 한탄이 근거를 결여하고 있음을 보여줍니다. 이때 그 근거는 어디까지나 ‘수학적 근거’일 뿐입니다.

   

[물음 13] 샌디는 러셀의 말을 듣고 힐베르트 호텔을 방문하려고 합니다. 이때 힐베르트의 반응으로 적절한 것을 <보기>에서 모두 고른다면?

 

<보기> 

(가) 제가 말하려고 했던 것은 셀 수 있는 무한 집합은 수학적으로 건설 가능하지만 실제로는 존재하지 않는다는 것입니다. 마치 샌디가 영원히 살 수 있다는 가정은 현실적으로는 불가능한 것처럼 말이죠. 제발 그러한 무모한 짓은 하지 마세요. (나) 수학과 물리학에 가정된 것은 반드시 존재합니다. 그러한 것 중 어떤 것이 지금 없다면 다른 어느 곳 혹은 미래의 언젠가는 반드시 존재하게 됩니다. 언젠가는 무한명의 사람이 동시에 존재할 수 있을 것입니다. 또 무한개의 객실을 가진 호텔도 존재할 것입니다. 샌디, 당신의 여행은 험난하겠지만 그 만한 가치가 있습니다. 당장 힐베르트 호텔을 찾아 나서세요. (다) 샌디, 당신이 정말 영원히 살 수 있다고 가정해 봅시다. 그러나 당신의 일생 전체를 담은 전기를 종결시키려면, 어느 시점에서부터는 더 이상 새로운 이야기가 생겨나지 말아야 합니다. 이것은 현실적으로 불가능합니다. 따라서 당신이 힐베르트 호텔을 방문하더라도 자서전을 종결시킬 방법을 찾을 수는 없답니다.

 

① (가)    ② (가), (나)    ③ (가), (다)    ④ (나)    ⑤ (나), (다)

   

[물음 14] 샌디가 건강하게 영원히 살 수 있다고 가정합시다. 이러한 경우에도 샌디는 자서전을 종결시킬 수는 없습니다. 그 이유는 무엇일까요?