니코마쿠스의 평균 목록(Nicomachus’ List of Means)

* 다음 자료를 변형하여 상업적 목적으로 사용하는 것을 금한다.

 

 

니코마쿠스의 평균 목록(Nicomachus’ List of Means)

 

 

양의 두 전체수 a, b(a>b)만 고려하는 경우, 학교에서 배운 산술 평균(arithmetic mean) A, 기하 평균(geometric mean) G, 그리고 조화 평균(harmonic mean) H는 각각 다음과 같다.

 

• 산술 평균 A = (a+b)/2

• 기하 평균 B = √ab

• 조화 평균 H = 2ab/(a+b)

 

위 세 평균은 이미 피타고라스 시절에도 널리 알려져 있었다고 한다. 기하 평균과 조화 평균을 발견한 고대 그리스 사람으로는 피타고라스가 거론된다. 산술 평균을 발견한 사람이 누구인지는 지금까지 발견된 문헌만으로는 알 수 없다.

 

평균에 대한 위와 같은 정의 방식은 그리스 수학 전통에 따른 것일까? 그리스 수학에는 0과 음수 및 무리수가 없었다는 사실을 감안한다면, 이 물음에 대해 고개를 끄덕일 수 없다. 세 평균에 대해 고대 그리스인들이 생각한 방식은 다음과 같이 표현 가능하다.

 

• 산술 평균: a-A = A-b

• 기하 평균: a/G = G/b

• 조화 평균: (a-H)/a = (H-b)/b

 

위 정의 방식에 따르면, 산술 평균은 양의 두 전체수의 중간 값에 해당한다. 산술 평균을 구할 때, a와 b로 표현 가능한 거리들, 그리고 그 거리들과 평균값의 비율을 따질 필요는 없다. 이 점은 기하 평균에는 해당하지 않는다. 피타고라스가 조화 평균을 발견했다는 주장은 전설에 근거하고 있다. 로마 시대의 보에티우스(Boethius)가 기록한 그 전설에 따르면, 피타고라스는 대장간을 지나다 조화 평균 개념을 얻었다고 한다. 서로 다른 무게의 망치들이 부딪혀 발생하는 소리가 마치 하나의 음악처럼 들렸다고 한다. 이후, 피타고라스는 진동하는 줄의 길이와 음조 사이의 관계를 연구했다. 이러한 연구 과정에서 조화 평균 개념이 나왔다고 한다.

 

산술 평균, 기하 평균, 조화 평균의 관계는 기하학적 방법으로 알 수 있다. 그리스 기하학의 증명법은 자와 컴퍼스를 이용한 작도법을 배제하지 않는다. 이때 두 전체수 a와 b를 가지고 다음의 기학적 표상을 작도할 수 있다.

 

위 기하학적 표상에서 산술 평균 A는 선분 OP의 길이, 기하 평균 G는 선분 PM의 길이, 그리고 조화 평균 H는 선분 PQ의 길이임을 증명할 수 있다. 또 삼각함수 지식을 이용해 다음을 증명할 수 있다.

 

• 양의 전체수 a, b에 대해 ‘H≤G≤A’가 성립한다. 이들 관계에서 등호는 ‘a=b’인 경우에 성립한다.

 

지금까지의 논의를 살펴보면, 그리스 평균 개념은 다음 문제를 답하는 과정에서 형성되었다고 해도 과언이 아니다.

 

• 양의 전체수 a, b에 대해 ‘a≥b’인 경우, ‘a, b, m’의 가능한 조합으로 표현 가능한 비례식을 만들 수 있다. 그 비례식을 만족하는 a와 b 사이의 전체수 m을 찾아라.

 

보에티우스에 따르면. 평균에 대한 위의 일반 문제를 인식하고 그것을 구체화하여 다룬 인물로 니코마쿠스(Nicomachus)와 파푸스(Pappus)를 들 수 있다. 여기서는 니코마쿠스의 평균 목록에 대해서만 간략히 살펴보자. 니코마스가 그 목록을 구성하기 위해 의식했던 문제는 다음과 같다.

 

• 양의 전체수 a, b에 대해 ‘a≥b’일 때, (a-m), (m-b), (a-b)의 두 비례 관계와 일치하는 경우를 a, m, b 중 두 수의 비율로 구하라.

 

니코마쿠스가 위 문제를 다룬 방식은 생략하자. 위 문제에 대한 답은 10개 이상이지만, 니코마쿠스는 의도적으로 다음 10개의 평균만 목록으로 만들었다.

 

평균	비례 관계	사례
산술 평균	a-m : m-b = a : a	2, 4, 6
기하 평균	a-m : m-b = a : m	4, 2, 1
조화 평균	a-m : m-b = a : b	6, 3, 2
Contra 조화 평균	m-b : a-m = a : b	3, 5, 6
Contra 기하 평균	m-b : a-m = m : b	2, 4, 5
Subcontra 기하 평균	m-b : a-m = a : m	1, 4, 6
7	a-b : m-b = a : b	6, 8, 9
8	a-b : a-m = a : b	6, 7, 9
9	a-b : m-b = m : b	4, 6, 7
10	a-b : a-m = m : b	3, 5, 8

* Thomas, I.(1939), Selections Illustrating the History of Greek Mathematics Vol. 1, 2, Harvard University.

 

이암블리쿠스(Iamblichus)에 따르면, 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균은 피타고라스 시절에도 널리 알려진 평균들이다. 나머지 중 이름을 가진 평균들을 발견한 사람은 에우독소스(Eudoxos)라고 한다. 나머지 네 개는 후기 피타고라스 학파가 발견한 것이라고 한다. 니코마쿠스의 평균 목록을 보면, 평균은 양의 전체수들의 비례 관계를 다루는 경우에 국한된다. 그리고 그러한 비례 관계를 만족하는 사례는 세 양수로 구성된 수열로 표현 가능하다. 이는 수를 두 종류로 구분하는 그리스 수학 전통에 기인한 것이다. 실례로 플라톤은 수를 홀수, 짝수, 완정수, 과다수 등의 성격을 갖는 단일 수와 특정 수열이나 비례식을 만족하는 수로 분류했다.

 

니코마쿠스가 왜 10개의 평균만 목록에 실었는지에 대한 이유는 알 수 없다. 일부 학자는 그 이유로 10을 완벽한 것으로 여기는 그리스의 세계 이해 방식을 거론한다. 아마도 또 다른 이유는 1부터 10까지 모든 양수가 위 10개의 평균에 대응하는 수열들 속에 나타나기 때문일 것이다.

 

교육학적 측면에서 ‘고대 평균’을 대표하는 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균이 가르쳐지는 이유 중 하나는 무엇일까? ‘조건에 따른 결과를 직접적으로 예시하거나 증명하는 능력’을 키워주는 데 고대 평균들이 도움을 주기 때문일 것이다. ‘조건에 따른 결과를 직접적으로 예시하거나 증명한다는 것’은 다음 문제들을 풀어 봄으로써 체험해 볼 수 있다.

 

 

1. 본문의 기하학적 표상에 근거해 산술 평균 A는 선분 OP의 길이, 기하 평균 G는 선분 PM의 길이, 그리고 조화 평균 H는 선분 PQ의 길이임을 보인다면?

 

 

 

2. 본문의 기하학적 표상에 ‘|sinθ|≤1’을 적용해 ‘H≤G≤A’가 성립함을 보인다면?

 

 

 

3. 산술 평균이 기하 평균보다 크거나 같음을 대수적으로 증명해 본다면?

 

 

 

4. 기하 평균이 조화 평균보다 크거나 같음을 대수적으로 증명해 본다면?

 

 

 

5. ‘a<b’를 만족하는 양의 두 전체수 a, b에 대해 헤론의 평균(Heron's mean)은 다음과 같이 정의된다.

 

• m=(a+√ab+b)/3

 

헤론의 평균이 그리스 수학 전통의 평균으로 취급되려면 m은 a와 b 사이의 전체수이어야 한다. ‘a<b’를 만족하는 양의 두 전체수 a, b에 대해 ‘a<m<b’가 성립함을 증명해 본다면?