오일러 다이어그램과 라이프니츠 다이어그램

 

오일러 다이어그램과 라이프니츠 다이어그램

 

 

‘개’라는 단어는 ‘개들의 모임’을 뜻한다. 이를 아는 사람은 개들의 공통 특징들을 알고 있으며, 그러한 공통 특징들에 근거해 개를 정의할 수 있다. 이러한 방식으로 정의 가능한 단어는 ‘범주 개념’을 나타낸다고 한다. 범주 개념으로 ‘개’, ‘소’, ‘돼지’, ‘포유류’, ‘조류’ 등을 들 수 있다.

 

범주 개념들 사이의 관계는 다양하다. 그 중 모임들의 포함 관계로 해석 가능한 것들이 있다. 다음은 그러한 것들을 나타내는 오일러 다이어그램(Euler diagram)이다.

     

 

  

위 다이어그램은 오일러의 Lettres ὰ une Princesse d’Allemagne(1761)에 등장한다. a와 b가 범주 개념 혹은 범주 개념을 나타내는 항이라고 할 때, 각 원은 a 또는 b에 대응하는 ‘대상들의 모임’을 뜻한다. 오일러 다이어그램서 위로부터 각각은 다음 진술 형이 참인 경우를 표상한다.

 

• 모든 a는 b다.

• 그 어떤 a도 b가 아니다.

• 어떤 a는 b다.

• 어떤 a는 b가 아니다.

 

각 원이 집합으로 해석될 이유는 없다. 그렇게 해석하는 경우, 위의 오일러 다이어그램은 학교에서 배우는 벤 다이어그램과 동일하다. 하지만 논리학에서 벤 다이어그램은 오일러 다이어그램과 다르다. 전자는 후자를 개선한 것으로 간주된다. 논리학의 벤 다이어그램 역시 약점을 갖고 있다. 실례로 벤 다이어그램은 ‘이접 판단(disjunctive judgement)’을 명확히 표상해 낼 수 없다. 이 때문에, 논리학의 벤 다이어그램을 개선시키려는 시도가 있었다. 실례로 퍼스 다이어그램, 루이스 캐럴의 다이어그램 등을 들 수 있다. 오일러 다이어그램에서 퍼스의 다이어그램에 이르는 진화 과정은 논리학 발달사의 한 부분을 차지한다. 그러한 진화 과정은 퍼스 다이어그램을 다룰 때 살펴 볼 것이다.

 

[퀴즈 1] 오일러 다이어그램에서 ‘어떤 a는 b다’가 참인 경우에 해당하는 표상을 보자. ‘어떤 a는 b다’가 참인 경우에 대해서 해당 표상 외에도 또 다른 두 가지 표상들이 가능하다. 그 두 가지 다른 표상들을 그려 본다면? (오일러 다이어그램의 해당 표상은 ‘어떤 a는 b다’가 참인 경우의 세 가지 표상법들을 대표하는 것이다.)

 

 

[퀴즈 2] 오일러 다이어그램에서 ‘어떤 a는 b가 아니다’가 참인 경우에 해당하는 표상을 보자. ‘어떤 a는 b가 아니다’가 참인 경우에 대해서 해당 표상 외에도 또 다른 두 가지 표상들이 가능하다. 그 두 가지 다른 표상들을 그려 본다면? (오일러 다이어그램의 해당 표상은 ‘어떤 a는 b가 아니다’가 참인 경우의 세 가지 표상법들을 대표하는 것이다.)

 

 

[퀴즈 3] 오일러는 라이프니츠 다이어그램(Leibniz diagram)에서 힌트를 얻어 그의 다이어그램을 만든 것으로 알려져 있으며, 라이프니츠는 고대부터 내려오는 포르피리 다이어그램(Porphyry diagram)에서 힌트를 얻어 그의 다이어그램을 만들었다고 한다. 다음은 라이프니츠 다이어그램이다.

     

 

  

왼쪽에서부터 각 표상은 무엇을 뜻하는가?