벤 다이어그램 기법과 시각적 혼선

* 다음은 총 50 장으로 구성된 <사고 훈련 과정>의 한 장이다. <사고 훈련 13>에서 <사고 훈련 17>까지는 삼단 논법의 아주 특수한 형태를 다루고 있다. ‘벤 다이어그램이라는 시각적 도구를 그리고 적용하는 법’이 아니라 ‘그렇게 그리게 된 이유와 적용에서의 한계’를 다루고 있다.

 

저자 이상하의 허락 없이 상업적 목적으로 사용하는 것을 금합니다. (추론학교 031-422-1977)

 

사고 훈련 17

- 벤 다이어그램 기법과 시각적 혼선 -

 

‘논증 형태’란 전제들과 결론으로 구성된 주장을 뜻합니다. 전제들이란 결론이 근거하는 진술들입니다. 논증이란 다음 조건을 만족하는 주장을 뜻합니다.

 

• 논증 형태를 갖춘 주장이다.

 

• 전제들을 받아들일 때 결론이 확실하거나 그럴듯한 것임을 보이는 방식의 주장이다.

 

따라서 ‘합당한 논증’이란 크게 두 가지로 나뉩니다.

 

• 전제들을 일단 참으로 받아들이면 결론을 부정할 수 없는 경우가 있다. 그러한 경우에 해당하는 주장을 ‘근거를 가진 확실한 주장’이라 한다. 그러한 주장을 논증에 해당하는 것으로 판단할 수 있는 경우, 그것을 ‘타당한 논증’이라고 한다.

 

• 전제들을 일단 참으로 받아들이면 결론을 ‘그럴듯한 것’으로 받아들여야 하는 경우가 있다. 그러한 경우에 해당하는 주장을 ‘증거를 가진 그럴듯한 주장’이라 한다. 그러한 주장을 논증에 해당하는 것으로 판단할 수 있는 경우, 그것을 ‘그럴듯한 논증’이라고 한다.

 

일상생활에서는 근거를 가진 확실한 주장보다는 그럴듯한 주장이 더 많이 사용됩니다.

 

[물음 1] <보기> 중 받아들일 수 없는 것은?

 

<보기> 

(가) 합당한 논증의 결론은 전제들에 근거해 확실한 것으로 판단되거나 그럴듯한 것으로 판단되는 것이겠군. (나) 타당하지 않은 논증은 합당한 논증이라 할 수 없군. (다) 그럴듯한 논증이 타당한 논증보다는 일상생활에서 자주 사용되는군.

 

① (가)   ② (나)   ③ (다)   ④ (가), (다)   ⑤ (나), (다)

 

 

삼단 논법은 두 전제들과 결론 하나만 가지고 ‘타당한 논증’을 구성하는 기법입니다. 지금까지 살펴본 삼단 논법은 삼단 논법들 중에서도 매우 특수한 것에 해당합니다. 단 세 개의 범주 개념들, 즉 대상들의 집합으로 나타낼 수 있는 세 개의 개념들 S, P, M으로 구성된 다음 조건들을 만족하는 것에 국한되었습니다.

 

• 전제로 사용되는 진술은 참 또는 거짓으로 판단 가능한 것이어야 한다. 또한 하나가 참이면 다른 하나가 거짓일 수밖에 없는 두 진술은 전제들로 사용될 수 없다.

 

• 전제들과 결론의 각 진술은 두 개념으로 구성되고, 진술의 참 거짓 여부는 두 개념에 해당하는 두 집합의 포함 관계 등에 의해 결정 가능해야 한다.

 

• 결론의 주어와 술어가 두 범주 개념 S와 P로 구성된 경우, S와 P를 매개해 주는 개념 M이 두 전제에 들어 있다. 그러한 개념 M을 ‘매개 개념’ 혹은 ‘중간 항’이라고 한다.

 

지금까지 살펴본 삼단 논법은 위 조건을 만족하는 것에 국한된다는 점에서 ‘범주 삼단 논법’이라 불립니다.

 

주어진 범주 삼단 논법이 내용적으로 타당한지를 따질 때, 각 전제에 대한 집합의 포함 관계를 나타내는 표상을 사용하는 것이 가장 정확합니다. 하지만 그러한 표상 방식을 사용하기 불편한 경우도 있습니다. 이에 대해서는 <사고 훈련 13>의 [물음 7]에서 살펴보았습니다. 이 때문에, 한 번에 세 개념에 해당하는 세 집합을 겹쳐 표상하고 각 전제들에 해당하는 포함 관계 등을 따지는 ‘벤 다이어그램’ 기법을 알아보았습니다.

 

벤 다이어그램 기법을 사용해 범주 삼단 논법을 평가할 때 주의해야 할 것이 있습니다. 그러한 평가가 시각적으로 오판을 불러일으킬 수도 있습니다. 하지만 벤 다이어그램 자체가 범주 삼단 논법의 타당성을 평가할 때 오판을 발생시키는 진짜 원인은 아닙니다. 많은 논리학자들은 그러한 오판의 진짜 원인으로 일종의 ‘맥락 오류’를 언급합니다. 그 맥락 오류란 다음을 뜻합니다.

 

• 결론에 등장하는 주어와 관련된 양화, 즉 ‘모든’ 혹은 ‘어떤’이 두 전제를 바탕으로는 정확히 S와 P 중 무엇에 속하는지 불분명함에도 분명한 것처럼 착각하는 경우, 타당하지 않은 범주 삼단 논법을 타당한 것으로 착각하는 오류를 범하게 된다.

   

S에 해당하는 집합이 공집합이 아니라고 가정하고, 다음 두 형식을 분석해 봅시다.

 

• (가) 어떤 M은 P다.                 (나) 어떤 P는 M이 아니다.

          모든 S는 M이다.                     모든 M은 S다.

          어떤 S는 P다.                         어떤 S는 P이다.

 

(가)의 벤 다이어그램을 그려 보면 다음과 같습니다.

 

 

시각적으로만 판단하면, 어떤 S는 세 원이 겹친 총탄 모양에 위치하고 있습니다. 따라서 ‘어떤 S는 P다’라는 결론은 전제들을 받아들일 때 참인 것처럼 보입니다. 하지만 결론의 ‘어떤 S’가 무엇인지는 두 전제에 명확히 나타나 있지 않습니다. ‘X-X’에서 총탄 모양에 위치한 ‘X’는 P에 속하는 ‘어떤 M’이 동시에 S에도 속하는 경우입니다. 반면에 또 다른 ‘X’는 ‘어떤 M’이 P에는 속하지만 S에는 속하지 않는 경우를 뜻합니다. 전자의 경우에는 (가)의 결론이 참이 되지만, 후자의 경우에는 거짓이 됩니다. 후자의 경우는 결론에 대한 예외가 됩니다. 따라서 (가)는 근거를 받아들인 상태에서 결론을 확실하게 주장할 수 없는 것입니다. 이 때문에, (가)는 타당한 형식이 아닌 것입니다. 이러한 이유로, 벤 다이어그램 추종자들은 오판의 원인이 위 그림에 있지 않다고 주장합니다. 오판의 진짜 원인은 두 전제만 가지고는 ‘존재 가능하거나 불가능한 어떤 S’가 결론에 나타났음에도 이를 눈치체지 못한 사람에게 있다는 것입니다. 따라서 벤 다이어그램에 나타날 수 있는 ‘X-X’는 ‘X가 어디에 존재하거나, 아니면 다른 어디에 존재한다’로 해석해야 합니다.

 

벤 다이어그램에 나타난 ‘X-X’를 세밀히 분석하면 다음과 같습니다.

 

(1) P이면서 어떤 M인 X가 S에도 속하는 경우

이 경우는 두 전제를 받아들일 때 결론 ‘어떤 S는 P다’가 참이 되는 경우입니다. 이를 집합론의 표상 방식을 빌려 나타내 보면 다음과 같습니다.

 

 

(2) P이면서 어떤 M인 X가 S에 속하지 않는 경우

이 경우는 두 전제들을 받아들일 때 결론 ‘어떤 S는 P다’를 참으로 여길 수 없는 경우입니다. 이를 집합론의 표상 방식을 빌려 나타내 보면 다음과 같습니다.

 

 

(1)과 (2)의 경우 모두 ‘어떤 M은 P다’와 ‘모든 S는 P’라는 두 전제를 만족하는 경우입니다. (1)의 경우에서 결론 ‘어떤 S는 P다’가 참이지만, (2)의 경우에서는 그렇지 않습니다. (2)는 결론에 대한 예외가 되는 경우입니다. 따라서 두 전제를 받아들일 때 결론도 확실하게 참이라고 할 수 없습니다. 이 때문에, [물음 17]의 삼단 논법에 해당하는 형식은 타당하지 않습니다. 따라서 벤 다이어그램 기법을 적용하여 삼단 논법의 타당성을 평가할 때 그저 보이는 대로 판단해서는 안 됩니다. 항상 전제들이 무엇을 뜻하는지를 면밀히 고려해 판단해야 합니다.

 

 

[물음 2] (나)에 대해 벤 다이어그램 기법이 오판의 원인은 아니라는 주장을 옹호해 본다면?

 

 

 

벤 다이어그램 기법 추종자들은 앞서 살펴본 시각적 혼선을 피하기 위해 (가)의 벤 다이어그램을 다음과 같이 나타냅니다.

 

 

위 벤 다이어그램에서 S와 P 원의 경계에 표시된 ‘X’는 ‘어떤 M은 P이다’를 나타냅니다. 위 벤 다이어그램은 앞서 살펴본 (가)의 벤 다이어그램과 동일합니다. (가)를 위처럼 벤 다이어그램으로 나타낸다면, 앞서 살펴본 시각적 혼선을 피하기 쉬워집니다. 다만, 위 방식에 따라 벤 다이어그램을 그리는 경우, 반드시 ‘모든 ...는 ...이 아니다’ 혹은 ‘그 어떤 ...도 ...가 아니다’와 같이 주어 항이 집합 전체를 뜻하는 진술들부터 먼저 처리해야 합니다. 이를 알기 위해, 다음 형식의 범주 삼단 논법을 분석해 봅시다.

 

• 어떤 M은 P가 아니다.

• 모든 M은 S다.

• 어떤 S는 P가 아니다.

 

S가 공집합이 아니라고 가정하고, 전제들이 주어진 순서에 따라 수정된 방식의 벤 다이어그램을 그려 보면 다음과 같습니다.

 

<수정된 방식의 벤 다이어그램>

 

 

이때 S 원과 M 원의 선상에 위치한 ‘X’는 ‘P에 속하지 않는 어떤 X가 S에 속하는 경우’ 또는 ‘P에 속하지 않는 어떤 X가 S에 속하지 않는 경우’를 뜻합니다. 후자의 경우는 ‘모든 M은 S다’라는 전제로 인해 그 가능성이 사라졌습니다. 따라서 전자의 경우만 남게 됩니다. 이때, ‘어떤 S는 P가 아니다’라는 결론은 예외 없이 참이 됩니다. 사실 위 벤 다이어그램은 다음과 동일합니다.

 

 

하지만 위 벤 다이어그램과 달리 <수정된 방식의 벤 다이어그램>은 시각적 혼선을 불러일으킵니다. 이러한 시각적 혼선을 없애는 방법은 무엇일까요? 위 삼단 논법의 전제들 중 ‘모든’을 포함한 진술을 먼저 처리하는 것입니다. 이때 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

<나의 답>

 

 

[물음 3] <나의 답>에 해당하는 벤 다이어그램을 그려 본다면?

 

 

 

벤 다이어그램에서 발생할 수 있는 시각적 혼선을 제거하는 과정에서 다음과 같은 <교과서적 벤 다이어그램 기법>이 탄생했습니다.

 

<교과서적 벤 다이어그램 기법>

• 두 전제 중 하나의 주어만이 전체 집합을 뜻하는 개념인 경우, 그러한 주어를 갖는 전제부터 먼저 그린다.

 

• ‘어떤’을 포함한 전제를 처리할 때 나타나는 두 가능성 ‘X-X’는 ‘-’를 가로지는 원 상의 ‘X’로 대신한다.

 

 

[물음 4] 시각적 혼선을 피하기 위해 고안된 <교과서적 벤 다이어그램 기법>을 가지고 다음 범주 삼단 논법들의 타당성을 따져 봅시다. 주어진 삼단 논법에 대한 벤 다이어그램을 그리고 그 삼단 논법이 타당한지 아닌지를 답해야 합니다.

 

(1)

• 모든 사람은 동물이다.

• 모든 동물은 죽을 수밖에 없는 동물이다.

• 모든 사람은 죽을 수밖에 없는 동물이다.

 

(2)

• 바다의 어떤 동물은 포유류이다.

• 어떤 포유류는 잘 조직화된 사회를 형성하는 동물이다.

• 바다의 어떤 동물은 잘 조직화된 사회를 형성하는 동물이다.

 

(3) 유니콘들이 있다고 가정하자.

• 모든 유니콘은 날개를 가진 동물이다.

• 날개를 가진 모든 동물은 조류이다.

• 어떤 유니콘은 조류이다.

 

(4)

• 그 어떤 말도 날 수 있는 동물이 아니다.

• 바다에 사는 모든 동물은 날 수 있는 동물이다.

• 그 어떤 말도 바다에 사는 동물이 아니다.

 

(5)

• 영리한 어떤 사람은 몸이 약한 사람이다.

• 안경을 쓴 모든 사람은 영리한 사람이다.

• 안경을 쓴 어떤 사람은 몸이 약한 사람이다.

 

 

[물음 5] <교과서적 벤 다이어그램 기법>을 사용해 다음 삼단 논법을 타당하게 해주는 결론을 채워 본다면?

 

• 어떤 하마는 바다에 사는 동물이 아니다.

• 모든 하마는 말이다.

• (                        )

 

중간항이 무엇을 뜻하는지 애매모호할 때 벤 다이어그램을 사용해서는 안 되는 경우도 있습니다. 다음 글을 살펴봅시다.

 

• K사는 컴퓨터 도구인 마우스를 생산하는 업체입니다. K사의 지하는 마우스를 생산하는 과정에서 흘러나온 폐기물로 꽉 찬 시궁창입니다. 시궁창에도 마우스들이 살고 있습니다.

 

누군가 위 글을 보고 다음과 같은 삼단 논법을 만들었다고 합시다.

 

• K사의 모든 상품은 마우스이다.

• 모든 마우스는 시궁창에 사는 동물이다.

• K사의 모든 상품은 시궁창에 사는 동물이다.

 

위 삼단 논법은 ‘바바라’ 형식의 타당한 형식을 갖고 있습니다. 바바라 형식의 삼단 논법을 벤 다이어그램으로 나타내 보면 다음과 같습니다.

 

• <바바라 형식에 대한 벤 다이어그램에 대한 나의 그림>

 

 

위 벤 다이어그램에 따라 ‘K사의 모든 상품은 시궁창에 사는 동물이다’라고 확실하게 주장할 수 있으려면, 두 전제에 등장하는 ‘마우스’가 동일한 것을 뜻해야 합니다. 왜냐하면 ‘마우스’는 쥐를 뜻하지만, 컴퓨터를 사용하는 데 필요한 도구를 뜻할 수도 있기 때문입니다. 만약 두 전제에 등장하는 ‘마우스’의 의미가 동일하지 않다면, 위 삼단 논법은 세 개가 아닌 네 개의 범주 개념으로 구성된 경우에 해당합니다. 그러한 경우에 대해 벤 다이어그램을 사용할 수 없습니다.

 

 

[물음 6~8] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. 

논증 및 추론 방식의 내용이 아니라 형식을 다루는 서양 논리학의 역사는 오랜 전통을 지니고 있다. 현대 논리학에서는 참 거짓 판단의 단위가 ‘주어+술어’의 구성을 갖는 진술 형식인 반면에, 고대 논리학에서는 대상들의 모임으로 나타낼 수 있는 ‘범주 개념’들 사이의 관계였다. 그러한 모임이 반드시 집합은 아니다. 하지만 그러한 모임을 집합으로 간주하는 경우, 범주 개념들 사이의 관계는 집합들 사이에 성립하는 관계로 여겨지게 된다.   범주 삼단 논법은 두 개의 전제들에 근거하여 확실하게 참으로 판단될 수밖에 없는 결론을 이끌어내는 논증 구성법에 속한다. 두 전제와 결론 모두는 세 개의 범주 개념으로 구성되며, 그 중 하나는 두 전제 각각에 나타나게 된다. 이렇게 두 번 나타나는 것을 ‘중간 항(middle term)’이라 한다. A, B, C를 범주 개념들이라 할 때 다음의 삼단 논법 형태에서 B가 중간 항이 되는 것이다.   A는 B다. B는 C다. A는 C다.   전제들에 근거하여 참 거짓 판단이 가능한 결론은 그런 중간 항을 매개로 하여 두 전제의 다른 개념들이 연결된 형태를 띠게 된다. 각 전제는 집합들 사이의 포함 관계를 함축하는 것으로 규정된 까닭에, 중간 항 없이는 결론의 참 거짓 여부를 판단할 수 없기 때문이다. 따라서 세 개의 범주 개념들만 가지고 삼단 논법을 구성하는 경우, 네 개의 개념이 등장하는 논증은 성립할 수 없다. 어떤 삼단 논법에 네 개의 항이 등장함에도 불구하고, 벤 다이어그램 기법을 사용해 해당 논증의 타당성을 평가하면 어떻게 되는가? 주어진 전제들에 근거하여 그 진위 여부를 알 수 없는 진술을 마치 알 수 있는 것처럼 취급하는 오류을 범하게 된다. 이를 ‘사항 오류(fallacy of four terms)’라 한다.   ‘중의적 중간항의 오류(fallacy of the ambiguous middle term)’는 사항 오류에 속하는 것으로 용어의 중의성(ambiguity)에 기인한다. 어떤 용어가 맥락에 따라 두 가지 이상의 의미를 지닐 때 해당 용어는 중의성을 갖는 것으로 간주된다. 실례로 ‘마우스’라는 용어는 맥락에 따라 쥐를 뜻할 수도 있지만 컴퓨터의 부수적인 도구를 뜻할 수도 있다. 삼단 논법의 중간 항이 중의성을 갖고 있다면, 그 중간 항은 실제로는 하나가 아니라 두 개가 되는 셈이다. 이러한 경우는 범주 삼단 논법의 구성 조건을 위반한 것이며, 그 결론의 진위 여부는 알 수 없다. 그런데도 전제들에 근거하여 결론을 참 또는 거짓으로 판단하는 것을 중의적 중간항의 오류라고 하는 것이다.

   

[물음 6] 위 글의 논지로 가장 적절한 것은?

 

① 논증의 추론 형식을 다루는 논리학은 고정된 것이 아니다.

② 범주 삼단 논법은 모든 관계를 다룰 수 없다.

③ 고대 논리학은 오류를 발생시킬 수밖에 없는 취약점을 갖고 있다.

④ 사항 오류를 피하려면 중의적인 표현을 사용하지 말아야 한다.

⑤ 범주 삼단 논법에서 중의적 중간항의 오류는 사항 오류의 일종이다.

 

[물음 7] <보기> 중 위 글에 대한 평가로 적절하지 않은 것은?

 

<보기>

(가) 중의적 중간항의 오류를 범한 삼단 논법의 결론이 일상 경험에 비추어 참일 수도 있다. (나) 위 글에 제시된 삼단 논법의 일반 형태를 만족하는 논증의 결론은 항상 참이다. (다) 중의적 중간항의 오류는 논증 맥락과 무관하게 발생한다. (라) ‘1+2>1’과 같은 진술을 고대 논리학에서 다루기는 힘들다. (마) ‘모든 개는 꼬리를 갖고 있는 동물이다’와 같은 진술은 개들의 집합과 꼬리를 갖고 있는 동물들의 집합 사이에 성립하는 포함 관계에 의해 그 진위 여부를 판단할 수 있다. (바) 영이는 어제 밤에 들린 굉음에 놀라 폭발 사고가 발생했다고 추측했지만, 철이는 폭죽놀이가 있었다고 추측했다. 두 사람의 이러한 의견 차이는 ‘굉음’의 중의성에 기인한 것이다.

① (가), (나), (바)    ② (나), (다)    ③ (나), (다), (바)

④ (다), (라) (바)     ⑤ (마), (바) 

 

[물음 8] 맥락에 따라 중의성을 갖는 용어 ‘마우스’를 사용하여 중의적 중간항의 오류를 범한 논증을 두 개 구성해 본다면? (그 하나는 논증 결론이 일상 경험에 비추어 명백히 거짓인 경우이어야 하며, 다른 하나는 논증 결론이 일상 경험에 비추어 참으로 여겨질 수 있는 경우이어야 한다.)

 

<마우스 논증 1>                <마우스 논증 2>

•                                       •

•                                                 •                            

•                                       •

 

 

범주 삼단 논법의 타당성 평가에 효과적인 표상법은 손쉽게 사용할 수 있으면서도 정확해야 합니다. 벤 다이어그램 기법을 그러한 효과적인 표상법으로 간주해야 하는 것일까?

 

범주 삼단 논법의 타당성을 평가할 때 굳이 벤 다이어그램을 사용할 필요는 없습니다. 세 개의 범주 개념에 대응하는 세 원들을 서로 겹친 상태로 시작하는 것이 아니라, 집합론의 표상 방식에 따라 두 전제 모두 참인 경우들을 따지는 것만으로도 충분합니다. 또한 그렇게 따지는 것이 범주 삼단 논법의 타당성을 평가할 때 가장 정확한 방법이기도 합니다.

 

마지막으로 강조하고 싶은 것이 있습니다. 내용적으로 타당한 삼단 논법이 ‘바바라’와 같은 타당한 형식에 실제 개념들을 집어넣어 얻어진 결과는 아니라는 것입니다. 그런 형식에 범주 개념들을 집어넣는 경우, 우리는 범주 개념들에 대응하는 모임들 혹은 집합들이 변하지 않는다고 가정하고 있습니다. 이러한 가정 아래 내용적으로 타당한 삼단 논법에서 ‘추상화 과정’을 거쳐 얻어진 것이 ‘바바라’와 같은 형식입니다. 여기서 추상화 과정이란 어떤 형식을 얻기 위해 진술이나 표현의 내용을 제거하는 과정입니다. 또한 모든 삼단 논법이 범주 삼단 논법은 아니라는 점도 잊지 말아야 합니다. 범주 삼단 논법은 개념들의 내연보다는 외연, 즉 집합만 가지고 진술들의 참 거짓 판단이 가능한 경우에만 해당합니다. 그러한 경우는 일상생활에서 자주 발생하지 않습니다. 이 때문에, 타당한 범주 삼단 논법을 구성하는 것은 ‘근거를 가진 확실한 주장을 구성하는 사고 훈련’에 해당한다고 말한 것입니다.

 

 

[물음 9] <사고 훈련 14>에서 범주 개념의 의미를 내연과 외연으로 나누어 살펴보았습니다. 개념 ‘개’의 내연과 외연을 설명해 봅시다.